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1、高三一轮复习专题：二次函数最值的求法课题： 求二次函数的最值教学目的：使学生掌握求二次函数的最值的方法。重点难点：求一个二次函数关系式中含有参数且自变量又有限制条件的最值问题。教学过程：一、课题引入 一元二次函数是初中学过的内容，但它在高中学习中起到非常重要的作用，贯穿高中全部学习过程，同时也是高考重点考查内容，二次函数的应用很广，主要有不等式和方程的应用，利用二次函数的图象来解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，及求二次函数的最值。二、讲解课题 今天我们主要学习二次函数求最值方面的应用，求一个二次函数的最值，主要分三种情况。当自变量X可以取一切实数时，y=ax2+bx+c （a0
2、）的最值可用公式求得，也可以用配方法把x=-代入解析式求得。例：已知：函数y=x2-2x+3（xR），求函数的最值。解：由y=x2-2x+3=（x-1）2+2得：当x=1时ymin=2当自变量x有限制条件时，要求y= ax2+bx+c（a0）的最值，主要利用数形结合法，画出y= ax2+bx+c在限制范围内的图像，由图像并结合二次函数的单调性得出最大值和最小值。同时指出作二次函数的图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，然后看与x轴的交点。例：已知：y=f（x）=,当时,求函数的最大值和最小值。思路分析：本题二次函数图像不变，而限制条件区间在变，属“轴定区间变”的题型，故应对区间进行分类讨论，其
3、分类方法主要按对称轴在闭区间内、左边、右边讨论，在闭区间左边或右边可以利用单调性求得，在闭区间内需要比较两端点函数值的大小。当，即时，由图像知：当时，由图像知：当，即时，（）当时，即时，由图像知： （）当，即时： 综上所述： 当二次函数关系式含有参数且自变量又有限制条件时，要对参数进行讨论，一般分对称轴在限制条件内和限制条件外两大类进行分类讨论来解决问题。例：已知函数 时有最大值2，求a的值。思路分析：由于函数对称轴x=a位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论（分对称轴在给定区间的左边，右边，以及在给定区间内）。本例属于“轴变区间定”的题型。解：(1)当对
4、称轴x=a0 时，由图像知： 1-a=2 即 a=-1 且满足a1 时，由图像知：综上所述：a=-1 或 2。点评：求二次函数在闭区间m,n上的最值只有以下两种情况：1 若，则在f(m),f(n),f()中，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。2 若，则在f(m)与f(n)中，较大的一个为最大值，较小的一个为最小值。三二次函数与对数函数，指数函数的复合函数的最值问题。（1）函数(f(x)为二次函数)的最值主要是先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据指数函数的单调性求得函数的最值。（2）函数(f(x)为二次函数)的最值，在f(x)0 的情况下同样先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据对数函数
5、的单调性求得函数的最值。四.随堂练习1已知函数 在闭区间0,m上有最大值3，最小值2,则m的取值范围是（ ）A.2.求函数 的最小值。3设，求函数 最大值和最小值。课题：二次函数的最值（高三复习课）教学目标： 1掌握二次函数最值的求法。 2并会运用它解决应用问题。 3能运用数行结合、分类讨论思想解题。 教学重点、难点： 重点：有限区间的二次函数最值及应用。 难点：含参数的有限区间的二次函数最值。 教学过程： 问题1 已知函数 ， 求： 时，求最小值； 上的最值； 上的最值。 问题2 已知函数 ， 求 的最大值； 求 的最小值； 求 最值。 问题3 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情所知，从2
6、月1日起的300天，西红柿市场售价与上市时间的关系用左下图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右下图的抛物线表示。 写出市场售价与时间的函数关系式 ； 写出种植成本与时间的函数关系式 ； 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 小结 1数形结合的思想。2分类讨论的思想。 练习 求下列函数的最值。 ， 。 ， 。 二次函数区间最值的条理 一元二次函数的区间最值问题，初学时，会感到错综复杂，难以把握。其实，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况，本文对此作了详细归纳。 设，求在上的最大值与最小值。
7、分析：将配方，得对称轴方程 当时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若 当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 例1. 已知，函数分别表示函数在区间上的最小值和最大值，求和的解析式。 分析：讨论对称轴与区间的位置关系。 解：对配方得 （1）当，即时，（如图1） （2）当，即时，（如图2） （3）当，即时，（如图3） （4）当，即时，（如图4） （5）当时，（如图5） 综上可得 例2. 不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。 分析：此题初看为一个不等式问题，但细分析可知题意是：要求函数在内的最小值不小于零，转化为求函数的最小值。 解：令 即 （1）若，即时（如图5） 再令得 （2）若，即时 （如图4） 令得，与矛盾 （3）若，即时（如图3） 令得 或 所以 综上所述：- 1 -
