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1、大数定理概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量 序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统辻学的基本定律之一，又称弱大数理 论。发展历史1733年，德莫佛一拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布 的极限分布是正态分布。拉普拉斯改讲了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900 年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时 概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限 定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序
2、列情 形下的显著进展。伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之 为大数定律的极限定理。表现形式大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律:切比雪夫大数定理设是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望Eg和方差DM。若存在常数C使得：D(xkC(k=lr2f-rn则对任意小的正数&满足公式一：恕唯：一址已阳 十1xi jt=ljt = lJ将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将 接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。伯努利大数定律设p是n次独立试验中事件A发生的
3、次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P， 则对任意正数&有公式二：lim P( - p =1为独立同分布的随机变量序列，若Hi的数学期望存在，则服从大数定律： 即对任意的80有公式三：lim ?! - a. - h 0(k=1,2.),则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn (x) 对于任意x满足limFn (x) =0(x)，n8 其中e(x)是标准正态分布的分布函数。拉普拉斯定理棣莫佛一拉普拉斯(de Movire -Laplace)定理，即服从二项分布的随机变量序列的 中心极限定理。它指出，参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为 极限。历史中心极限定理
4、有着有趣的历史。这个定理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在 1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布。这个超 越时代的成果险些被历史遗忘，所幸著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著Theorie Analytique des Probabilites中拯救了这个默默无名的理论.拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论， 指出二项分布可用正态分布逼近。但同棣莫弗一样，拉普拉斯的发现在当时并未引起很大反 响。直到十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知。1901年，俄国数学家里雅普诺 夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明。如今，中心极限定 理被认为是(非正式地)概率论中的苴席定理。1
