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1、 第3章 左半张量积与矩阵映射 本章主要研究矩阵左半张量积的性质.首先证明几乎所有普通矩阵乘法的重要性质都可以推广到左半张量积.接着利用左半张量积研究矩阵的线性和多项式映射.再根据矩阵映射的性质得出左半张量积的一些新性质.最后讨论普通矩阵乘法、张量积和左半张量积之间的转化. 3.1 基 本 性 质 本章讨论左半张量积的一些基本性质.不难看出，当普通矩阵乘法推广到左半张量积时，几乎所有的乘法性质都保留下来了.左半张量积的生命力正在于此. 命题3.1.1 设和是两个具有合适维数的矩阵，则 （3.1.1） 证明 通过简单计算可知，对于具有合适维数的行向量和列向量，有 (3.1.2) 考虑.记的第行为
2、，的第列为，则显然的第块就是 此时，的第块是 由式（3.1.2）可以看出，的第块的转置就是的第块，于是命题得证. 下面的命题说明两个矩阵的左半张量积可以很容易地用它们的普通积加上张量积来实现. 命题 3.1.2 （1）如果则 （3.1.3） (2) 如果则 （3.1.4） 证明 根据命题2.3.2，不失一般性，对于矩阵和，我们可以假设则可以通过直接计算验证等式成立. 命题3.1.2是很基本的理论，半张量积的很多性质都可以由它得到.下面的命题可以认为是命题3.1.2的直接结论. 命题3.1.3 给定两个具有合适维数的方阵，使得有定义，则 (1)和有相同的特征函数； (2) (3) 如果A或B可逆
3、，则这里，“”表示矩阵相似； (4)如果A和B都是上三角阵（下三角阵、对角阵、正交阵），则也同样是上三角阵（下三角阵、对角阵、正交阵）； （5）如果A和B都可逆，则也可逆，并且 （3.1.5） （6）如果则 （3.1.6）如果则 （3.1.7） 证明 利用式（3.1.3）和式（3.1.4）将左半张量积转化为矩阵普通乘法和张量积的形式，很容易就得到上面的性质.我们证明（5）作为示例.设则 下面的命题表明换位矩阵也可以交换块结构数组的各块的位置. 命题 3.1.4 （1）设 是每个分块都有相同维数的矩阵，它是由指标按照索引排列的，则 是按照索引排列的. （2）设 是由具有相同维数的分块排成一列的矩
4、阵，由按照索引排列，则 是按照索引排列的. 证明 如果是列向量或者是行向量，由命题1.5.3可直接得到结果（见习题1.13）. 利用命题3.1.2可以看出，根据左半张量积，换位矩阵也可以实现分块的重新排列. 一个矩阵和单位阵I的左半张量积有一些特殊的性质.粗略地说，当I的大小小于或等于矩阵M的大小（这里，大小指的是行数或列数，分别对应于I左乘或右乘M）时，它就是一个单位阵.当I的大小大于M的大小时，它将会扩大M. 命题3.1.5 （1）设M是一个矩阵，则 （3.1.8） （2）设M是一个矩阵，则 （3.1.9） （3）设M是一个矩阵，则 （3.1.10） （4）设M是一个矩阵，则 （3.1.1
5、1） 证明 所有的等式都可以利用命题3.1.2直接推导出来（我们将具体的验证留给读者）. 下面的命题说明左半张量积可以用来将一些有关矩阵的线性映射表示成它们的展开式的线性映射.在下一节里，我们将会讨论另一种表示. 命题3.1.6 设则 （3.1.12） （3.1.13）证明 对于式（3.1.12），令并且记A的第行为根据命题2.3.2，等式右边的第块就是 于是，式（3.1.12）成立.再来证明式（3.1.13），对式（3.2.11）应用式（1.5.4），就有 注意到，式（3.1.12）形如一个向量空间（例如等）上的线性映射.实际上，当X是一个向量时，式（3.1.12）就变成一个线性映射的标准形
6、式.这也从另一方面表明左半张量积是普通矩阵乘法的推广.利用式（3.1.12）和式（3.1.13）可以得到一个矩阵多项式的矩阵表示，下面就是一个直接结果，我们将详细证明留给读者.推论3.1.1 设X是一个方阵，是一个多项式，则可以表示成的形式，并且 （3.1.14） 3.2 矩阵的映射第1章中我们已经讨论了矩阵的行展开和列展开，有时将矩阵表示成向量形式会给我们带来很多的方便.本节我们将考虑矩阵表示成向量时，一个矩阵函数（特别是线性函数）的表示.我们称之为矩阵映射的展开表示.从向量空间V到向量空间W的线性映射是指满足线性条件的映射，即 为方便，我们记为由向量空间V到向量空间W的线性映射全体.作为特
7、例，矩阵集合到矩阵集合的线性映射的全体记作我们从几个例子开始.例 3.2.1 （1）（Lyapunov映射）给出一个方阵考虑如下映射定义为 (3.2.1)说一个矩阵是Hurwitz阵，如果它的所有特征值都具有负实部.大家都知道是一个Hurwitz阵，当且仅当对于任意一个负定矩阵有一个正定解.作为向量空间上的线性映射，有一个矩阵表示 （3.2.2）这种矩阵表示的确切含义就是 （3.2.3） （2）（辛映射）矩阵当且仅当其中， 一般，我们考虑广义辛映射 可以证明的解构成一个李代数，并且是李群 的李代数，而且对于任意的存在一个非零解X，即0为的一个特征值. 在式（3.2.3）中，矩阵表示成列展开形式
8、，我们使用上标c来表示.同样，当矩阵表示成行展开时，我们也有一个矩阵表示，即 下面的命题表明，上述两种矩阵表示可以很容易地互相转换，即其中一种矩阵表示可由另一种得到. 命题3.2.1 设则 （3.2.5） 特别，如果则式（3.2.5）就变成 （3.2.6） 证明 考虑(3.2.5)中第一式.根据命题1.5.2，我们可以通过三个步骤得到.首先，用将的行展开转化为列展开；然后作映射.最后，用将的列展开转化为行展开. 第二式可由第一式利用得到. 根据式（3.2.5），和中的任一个都可以轻易的由另一个得到.这里我们约定，如果没有特别说明，当说展开时值得都是. 设，我们考虑一般的线性映射，定义如下： (
9、3.2.7)其中 对于这种一般形式，我们有以下命题. 命题 3.2.2 式(3.2.7)的矩阵表示是 （3.2.8) 证明 首先列出4种基本线性映射的矩阵表示（相应矩阵的维数同上），如表3.2.1所示 表3.2.1 列展开表示 前两种映射是大家比较熟悉的，它们都可以通过直接计算验证.对于第三种映射，有而对于最后一个，可以证明 . 将式(3.2.7)看做是两个复合线性映射的线性组合，由上面这些映射的矩阵表示就可以得到式(3.2.7)每一项的矩阵表示.另外注意到，对于复合映射，它的维数需要根据乘积中间的矩阵大小来调整，于是有 立即就得到了式(3.2.8) 下面我们给出一个数值例子说明上面的公式.
10、例 3.2.2 设，且 （1）设，使得，则 因此， (3.2.9)直接计算有这就说明式(3.2.9)是正确的.（2）设使得，则 因此， (3.2.10)直接计算得到 这验证了式（3.2.10）的正确性.（3）设，使得，注意到 于是， 因此， (3.2.11)直接计算得到 它验证了式（3.2.11）的正确性.（4）设使得，则 因此， （3.2.12）直接计算有这验证了式（3.2.12）是正确的.（5）设使得，利用式(3.2.8)得到 因此， （3.2.13）直接计算得:，这验证上式是正确的. 映射（3.2.7）由两种不同类型的项组成，它可以用于任意有限项的情形，一种特别有用的情形是所有矩阵均为同一维数的方阵.下面给一个数值例子说明. 例3.2.3设 考虑 (3.2.14)利用式（3.2.8）及表（3.2.1）可得映射的矩阵表达式为 为了方便起见,我们在表中列出了一些有用的矩阵线性映射的矩阵表示 表3.2.2 矩阵线性映射的列展开表示映射名称记号Lyapunov映射一般Lyapunov映射辛映射伴随映射共轭映射相合映射 利用上面的矩阵表示，我们可以得到一些有用的公式. 命题3.2.3 设则 (3.2.15)
