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1、邯郸学院本科毕业论文题 目 全国大学生数学建模竞赛惯用建模办法探讨 郑重声明本人毕业论文（设计）是在指引教师 闫峰 指引下独立撰写完毕。如有抄袭、抄袭、造假等违背学术道德、学术规范和侵权行为，本人乐意承担由此产生各种后果，直至法律责任，并乐意通过网络接受公众监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）： 年 月 日全国大学生数学建模竞赛惯用建模办法探讨摘要请单击此处，然后输入中文摘要内容核心词：数学建模竞赛 初等办法 建模办法 微分方程 图论 线性规划Commonly used modeling method of the National Mathematical Contest in
2、ModelingChai yunfei Directed by Professor YanfengABSTRACT在此处输入英文摘要内容KEY WORDS：mathematical contest elementary method modeling method differential equations graph theory linear programming目 录全国大学生数学建模竞赛惯用建模办法探讨I前言11 初等数学建模办法21.1 走路问题21.2 银行复利问题32 微分方程建模办法52.1 微分方程建模原理和办法52.2 人才分派问题模型73 差分和代数建模办法83.1
3、Malthus人口模型83.2 线性差分方程解法94 数据差值与拟合办法104.1 拉格朗日插值法114.2 最小二乘法125 线性规划建模办法145.1 线性规划普通理论145.2 合理下料问题166 图论建模办法176.1 图论基本概念和简朴图论模型176.2 最短轨道问题186.3 求最小生成树186.4 模仿退火法原理196.5 应用举例19参照文献21附录22致谢23前言全国大学生数学建模竞赛开办于1992年，每年一届，当前已成为全国高校规模最大基本性学科竞赛，也是世界上规模最大数学建模竞赛。竞赛题目普通来源于工程技术和管理科学等方面通过恰当简化加工实际问题，不规定参赛者预先掌握进一
4、步专门知识，只需要学过高等学校数学课程。题目有较大灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应依照题目规定，完毕一篇涉及模型假设、建立和求解、计算办法设计和计算机实现、成果分析和检查、模型改进等方面论文。赛题普通涉及面宽-有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，当代科学中浮现新问题等。普通均有一种比较确切现实问题。本文将重要简介某些惯用数学建模办法，涉及初等数学建模办法、微分方程建模办法、差分和代数建模办法、数据差值与拟合办法、线性规划建模办法、图论建模办法等。1 初等数学建模办法在数学建模竞赛中，常会涉及到初等数学建模办法。对于某些机理简朴问题，经常应用静态、线性或逻辑办法即可建立模型
5、，使用初等数学办法或简朴微积分知识即可求解，此类模型称之为初等数学模型。初等数学建模办法诸多，有比例关系、状态转移、量纲分析、类比建模等。本章重要列举了走路问题与银行复利问题，问题中涉及到了某些办法，通过这些知识办法巧妙应用，可以开拓思路，提高分析解决实际问题能力。1.1 走路问题人在匀速行走时，步行多大最省劲？把人行走时做功看作是人体重心势能和两脚运动动能之和。试在此基本上，建立数学模型并对所得成果进行评价。设人体重M，腿重为,腿长为,步长为，速度为，单位时间内步数为n. 则由已知，人行走时所作功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。计算人体重心升高势能将人行走简化，设重心升高为h,
6、则当较小时，取泰勒公式展开式前两项，得于是单位时间内重心升高所需势能为计算腿运动动能如果将行走视为腿（均为直径）绕腰部转动，则单位时间动能为E=In其中I为转动惯量，I=l=l为角速度，=，ml.因此E=l=mv=于是单位时间行人行走所作功为P= E+ E=+这是一种数学模型，问题转化为欲求：x为多大时，P最小。在中，求P驻点，令=0，解得x=v。由nx=v,得n=若取M:m=4:1,代入且近似取l=1(米)，可得n5,即每秒5步，显然太快了，模型修改：是腿重集中在脚上，人行走所需动能为脚直线运动动能，则有=mvn=,其中 =+,同上解得 =3.这比较符合实际。1.2 银行复利问题一种人为了积
7、累养老金，她每月准时到银行存100元，银行年利率2，且可以任意分段按复利计算。试问此人5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则她又有多少养老金？如果复利和存款持续计算呢？试建立数学模型并求解。按月存款和利息时，每月利息为=记x为第k月末时养老金数，则由题意得x=100x=100+100（1+）x=100+100（1+）+100（1+） x100+100（1+）+100（1+）五年末养老金为x=100=60000-1元6629.9元当复利和存款按日计算时，记y为第k天养老金数，则每天存款额为a=,每天利率为r=.第k+1天养老金数量与第k天养老金数量关系为y=+ y(1+r)= +
8、y(1+)从第一天开始递推为y=ay=a+a(1+r)y= a+a(1+r) +a(1+r) y= a+a(1+r) +a(1+r)+ a(1+r)=a=-1在5年末时养老金数为： （5年=5365=1825）y=-1=-16614.68元当存款和复利持续计算时，将1年提成m个相等时间区间，则在每个时间区间中，存款为，每个区间利息为,记第k个区间养老金数目为z,类似与前面分析，5年后养老金为z=60000（元）=60000令m,即得持续存款和利息时，5年后养老金为：Z=60000=60000(e-1)元6642.08元观测这三种不同状况下复利计算问题，可以看出，将1年份为m等份，得出计算公式具
9、备普通性。当m分别取12和365时，就是前两种状况下计算公式。此外，是m单调函数，因此计算间隔越小，5年后养老金数就越多，但不会超过持续存款和计息极限值。由于存款和计息间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存较多钞票而是分批逐渐存入，对投资者资金周转有利，因此在银行按复利计算时，建议存款者尽量采用小间隔方略。2 微分方程建模办法在大多赛题中，要直接找出某些量之间关系往往比较困难，但有时考虑其微小增量或变化率与这些变量之间关系确是容易，这种情形下咱们经常采用微分关系式去描述其关系。2.1 微分方程建模原理和办法普通来说，任何事变问题中随时间变化发生变化量与其他某些量之间关系经常以微分方程形式来
10、体现。看这样一种问题：有一容器装有某种浓度溶液，以流量v注入该容器浓度为c同样溶液，假定溶液及时被搅拌均匀，并以v流量流出混合后溶液，试建立反映容器内浓度变化数学模型。注意到 溶液浓度=因而，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化。不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s,t时刻容器中溶液体积为V（t），初始值为V，则这段时间内有 （1）其中，c表达单位时间内注入溶液浓度，c表达单位时间内流出溶液浓度，当t很小时，在内 c= （2）对式（1）两端同除以，令0，则有 （3）此即问题数学模型。它是针对液体溶液变化建立，但它对气体和固体浓度变化同样合用。实际中，对面许多时变问题都
11、可取微小时间段去考察某些量之间变化规律，从而建立问题数学模型，这是数学建模中微分建模惯用手段之一。通过对上述例子理解，下面简介几种惯用微分方程建模办法。（1）按实验定律或规律建立微分方程模型。刺激按摩充分依赖于各个学科领域中关于实验定律或规律以及某些重要已知定理。此法建模规定建模者有辽阔知识视野才干对耨写详细问题采用某些熟知实验定律。（2）分析微元变化规律建立微分方程模型。求解某些实际问题时，谋求某些微元之间关系可以建立问题数学模型。如上述问题中考察时间微元，从而建立反映溶液浓度随时间变化模型。此建模办法出发点是考察某一变量微小变化，即微元分析，找出其她某些变量与该微元间关系式，从微分定义出发
12、建立问题数学模型。（3）近似模仿法。在许多实际问题中，有些现象规律性并非一目了然，或有所理解亦是复杂，此类问题惯用近似模仿办法来建立问题数学模型。普通通过一定模型假设近似模仿实际现象，将问题做某些规范化解决后建立微分方程模型，然后分析，求解再与实际问题作比较，观测模型能否近似刻画实际现象。近似模仿法建模思路是建立可以近似刻画或反映实际现象数学模型，因而在建模过程中经常做某些较合理模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题数学模型2.2 人才分派问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例人员留在学校充实教师队伍，别的人员将分派到国民经济其她部门从事经济和管理工作. 设t年教师人数为科学技术
13、和管理人员数目为又设1外教员每年平均培养个毕业生，每年人教诲、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员比率为表达每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率于是有方程 (1) (2)方程(1)有通解 (3)若设则于是得特解 (4)将(4)代入(2)方程变为 (5)求解方程(5)得通解 (6)若设则于是得特解 (7)(4)式和(7)式分别表达在初始人数分别为状况，相应于取值，在t年教师队伍人数和科技经济管理人员人数. 从成果看出，如果取即毕业生所有留在教诲界，则当时，由于必有而阐明教师队伍将迅速增长. 而科技和经济管理队伍不断萎缩，势必要影响经济发展，反过来也会影响教诲发展. 如果将接近于零. 则同步也
14、导致阐明如果不保证恰当比例毕业生充实教师选取好比率，将关系到两支队伍建设，以及整个国民经济建设大局.3 差分和代数建模办法在某些问题中，许多数据都是以等间隔时间周期记录。例如，银行中定期存款是按设定期间等间隔计息，外贸出口额按月记录，国民收入按年记录，产品产量按月记录，等等。这些量是变量，普通这些变量为离散型变量。描述离散型变量之间关系数学模型为离散型模型。对取值是离散化经济变量，差分方程是研究她们之间变化规律有效办法。3.1 Malthus人口模型1798年英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必要；第二，人性本能几乎无法限制，提出了闻名于世人口指数增长模型，即Malthus人口模型：人口总数为,人口出生率为b，死亡率为d。任取时段【,+】，在此时段中出生人数为b，死亡人数为d。假设出生
