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1、 坐 标 几 何 问 题1、如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3和的O1与O2外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与O1和O2分别切于A、B两点，直线AB与y轴相交于点C，O2DAO1于点D。（1）求O1O2D的度数； （2）求点C的坐标；（3）求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式；（4）在（3）的抛物线上是否存在点P，使PO1O2为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）连结O2B，得矩形ABO2D 于是有 AB =O2D，DA = O2B = （3）存在满足条件的点 O1D = O1ADA = 3= 2 理由是：连结点O1C、O2C 在RtO1O
2、2D中，有： 由切线长定理知 O2D = 6 O1CO =ACO， sinO1O2D = O2CO =BCOO1O2D = 300 O1COO2CO （2）AB =O2D = 6 =（ACOBCO） AB、OC是O1和O2的公切线 =900 OC = BC = AC =AB = 3 于是O1O2C是直角三角形 点C的坐标为（0，3） 点C满足条件 （3）由图知O1、O2的坐标分别为（3，0）、 又根据抛物线的对称性知： （，0） 点C关于对称轴x = 设经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式为 的对称点（2，3）也y = ax2bxc 满足条件 点P的坐标为（0，3）或抛物线的解析式为y =
3、x2x3 （2，3）2、如图，在平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A（2，0），与y轴相交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（，0）连结AB。（1）求证：ABO1=ABO；（2）设E为优弧的中点，连结AC、BE，交点为F，请你探求BEBF的值；（3）过A、B两点作O2与y轴的正半轴交于点M，当O2的大小变化时，给出下列两个结论：BMBN的值不变；BMBN的值不变。其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。 证明：（1）连结O1A，则有O1AOA E是优弧的中点，即= O1AOB ABF =EBC O1AB =ABO BAF =E O1A=O1B
4、ABFEBC O1AB =ABO1 = ABO1 =ABO BEBF = ABBC = 3解：（2）连结CE （3）BMBN的值不变 O1AOB 理由是：在MB上取一点G，使MG = BN， = 连结AM、AN、AG、MN 设DB = 2x，则O1D = 5x ABO1 =ABO，ABO1 =AMN O1A = O1B = 5x2x = 3x ABO =ANM 在RtADO1中，有： AMN =ANM （3x）2（）2 =（5x）2 AM = AN x = AMG =ANB，MG = BN DB =，O1A = O1B = AMGANB OB = 1 AG = AB OA是O1的切线，OBC是
5、O1割线 AOBGOA2 = OBOC即22 = 1OC BG = 2OB = 21 = 2 OC = 4，BC = OCOB = 41 = 3 BMBN = BMMG = BG = 2，其值不变 AB = 3、如图，在平面直角坐标系中，C经过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2）。（1）求圆心C的坐标；（2）抛物线y = ax2bxc经过O、A两点，且顶点在正比例函数y = x的图象上，求抛物线的解析式； （3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判断D、E两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点P（xo，y0），满足APB为钝角，求xo
6、的取值范围。解：（1）过点C作CHx轴于H，则 （3）在RtAOB中，有 有CHOB AB = = = 4 AOB = 900 EC = DC = 2 AB是C的直径 于是易求D、E两点的坐标分别为D（3，）、 AC = BC E（1，） CHOB 把D、E两点分别代入抛物线y = x2x OH =OA =2 = 1 中检验，知D、E两点均在抛物线上 于是CH是AOB的中位线 （4）AB是C的直径 CH =OB =2= 当抛物线上的点P在C的内部时，满足 圆心C的坐标为（1，） APB为钝角， （2）抛物线经过O、A两点 xo的取值范围是1xo0或2xo3 抛物线的对称轴是直线x = 1 抛物
7、线的顶点在直线y = x上顶点坐标为（1，）把点O、A、顶点代入抛物线y = ax2bxc 抛物线的解析式为y = x2x4、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，B是以OA为直径的M上的一点，BCy轴于点C，BC与OA的长是关于x的方程x26mxm24 = 0的两个实数根，且BC：OA = 1：5。 （1）求BC与OA的长（直接写出结果即可）；（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（3）以下两题的难度与分值均不同，你只能选做一题。过点B作M的切线，交x轴于点N，试判断（2）中的抛物线的顶点P是否在切线NB上？请说明理由；过原点O作ODAB，交（2）中的抛物线于点D，求点D的坐
8、标，并探究在x轴的下方，此抛物线上是否存在点T，使SOTD = 2S梯形OCBA？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）BC = 1，OA = 5 抛物线y =x2x的顶点P （2）设经过O、A、B三点的抛物线 的坐标为（，）的解析式为y = ax2bxc BN是M的切线OA是M的直径，BCy轴 MBN = 900OBA =BCO = 900 在RtMBN中，BQMN显然有BCOA MBQBNQAOB =OBC = 即=RtOBARtBCO QN = ，ON = QNOQ =1 = N点的坐标为（，0）OB2 = OABC = 15 = 5 设切线BN的解析式为y =k
9、xb，OB = 把点B、N代入y =kxbOC = = 2 于是有A（5，0）、B（1，2） 切线BN的解析式为y =x把点O、A、B代入抛物线y = ax2bxc 把抛物线的顶点P（，）代入 切线BN的解析式得：左边=右边=抛物线的解析式为y =x2x 抛物线的顶点P在切线NB上 （3）过点B作BQMN于点Q， 设D点的坐标为（m，n），则BQ = OC = 2，OQ = BC = 1， 过点D作DEx轴于点E，则QM = OMOQ =1 = OE = m，DE = n在RtOAB中，AB = = =2ODAB DOE =OABDEO =OBA = 900RtDOERtOAB= 即=m = 2n又点D在抛物线y =x2x上n =m 2m上D点的坐标为（6，3）存在点T，使SOTD = 2S梯形OCBA，这时T点的坐标为（2，3）或（4，2）5、如图，在平面直角坐标系内，C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限. （1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2BPBE，能否推出APBE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2BQEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由。解：（1）AB = OBOA = 82 = 6
