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1、第一章 非线性方程和方程组的数值解法1)二分法的基本原理,误差:2)迭代法收敛阶:,若则要求3)单点迭代收敛定理:定理一:若当时,且,则迭代格式收敛于唯一的根;定理二:设满足:时,则对任意初值迭代收敛,且:定理三:设在的邻域内具有连续的一阶导数,且,则迭代格式具有局部收敛性;定理四:假设在根的邻域内充分可导,则迭代格式是P阶收敛的(Taylor展开证明)4)Newton迭代法:,平方收敛5)Newton迭代法收敛定理:设在有根区间上有二阶导数,且满足:;:;:初值使得;则Newton迭代法收敛于根。6)Newton迭代法求重根(收敛仍为线性收敛),对Newton法进行修改:已知根的重数r(Ne
2、wton下山法),(平方收敛):未知根的重数:,为的重根,则为的单根。6)截弦法单点:双点(快速):7)迭代加速收敛方法(艾特金(Aitkem)加速):当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数,平方收敛第二章 线性代数方程组数值解法1)向量范数:非负性:,且的充要条件是;:齐次性:三角不等式:1范数:2范数:范数:p范数:2)矩阵范数:非负性:,且的充要条件是;:齐次性:三角不等式:乘法不等式:F范数:1范数:,列和最大范数:,行和最大2范数:,其中,为的特征值,3)Gauss消元法(上三角阵):;列选主元消元法:在消元之前进行行变换,将该列最大元素换置对角线主元位置;(可用于求逆矩阵,详见
3、杨娟ppt)4)三角分解法(此部分难以简单说明,具体见ppt):Doolittle分解法:A=LU,L单位下三角阵,U上三角阵:Crout分解法:A=LU,L下三角阵,U单位上三角阵:追赶法:Crout分解法解三对角方程8)Jacobi迭代:9)Gauss-Seidel迭代:第三章 插值法与数值逼近1)Lagrange插值:,余项:2)Newton插值:差商表余项3)Hermite插值(待定系数法)其中余项:4)分段线性插值:插值基函数:余项:分段余项5)离散函数的最佳平方逼近(曲线的最小二乘拟合):法方程其中第四章 数值积分1)代数精度的概念及应用:对r次多项式的精确成立,以及代入法求解系数
4、。2)Lagrange插值代入Lagrange插值基函数,其中误差:定理:数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的3)等距节点的Newton-Cotes公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可,其中;梯形公式辛甫生(Simpson)公式柯特斯(Cotes)公式一阶【2次代数精度】令f(x)=x2二阶【3次代数精度】令f(x)=x4四阶【5次代数精度】4)复化的N-C公式复化梯形公式复化辛甫生公式复化柯特斯公式 复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式5)Romberg积分法梯形递推公式加权平均公式: 6)求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度=2n+1;第六章 常微分方程的数值解法(差分法)1)离散化方法:Taylor展开、差商代替求导、数值积分2)Euler公式:欧拉公式简单;精度低向前差商近似导数欧拉法具有 1 阶精度改进的欧拉公式此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有 2 阶精度,同时可以看到它是个单步递推格式,比隐式公式的迭代求解过程简单。3)四阶经典Runge-Kuta法