《二次曲线的直径》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次曲线的直径（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.4 二次曲线的直径 教学目的：理解二次曲线对称轴和共轭方向、共轭直径的概念，掌握二次曲线直径的求法 教学重点：二次曲线直径的定义和求法。教学难点：二次曲线共轭直径的概念和求法。1二次曲线直径的概念与求法前面已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况当直线平行于二次曲线的某一非渐近 方向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同的实点，两个重合的实点或一对共轭的 虚点)，这两点决定了二次曲线的一条弦现在来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹1)定理1二次曲线S的沿非渐近方向(卩,u)的一族平行弦的中点轨迹是一条直线，其方 程为卩F (x, y) +uF (x, y) = 012证 设(卩,u)是二
2、次曲线的一个非渐近方向，即申(卩,u)丰0，取沿该方向的任意一条弦MM，设其中点为M (x ,y )，贝I过M沿非渐近方向(p,u)的直线方程l为1 2 0 0 0 0f x = x + 卩 tt 0(s t 22)则得即亦即因此迹是u = 012u = 02211a 光1212a Hya 0223)1.当I丰0时，即为中心曲线时，方程组(3)有唯一解(x , y )，贝(x , y )为二次曲线2 0 0 0 0 的中心，即二次曲线的直径中心。2. 当I二0,1鼻0时，即为无心曲线时，方程组(3)无解，它的直径平行于二次曲线的23渐近方向，P: u = a : a = a : a .12 1
3、1 22 123. 当I二I二0时，即为线心曲线时，方程组(3)有无穷多解，它的直径即为23a x + a y + a 二 0 或 a x + a y + a 二 011 12 1 12 22 2推论1 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近 方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线.图1 给出了三种二次曲线的直径的情形，图中直径用粗线画出.(a)中心曲线，直径是中心直线束(b)无心曲线，直径是平行直线束图1(c)线心曲线，直径是一条直线例1求椭圆或双曲线竺土兰二1的直径.a 2 b2解 F（x，y）= 土 1 = 0， Fi（x， y）=，F2（x，
4、 y）= -ra 2 b21a22b2根据，共轭于非渐近方向卩：u的直径方程是施x五y = 0，显然，直径通过曲线的中心( 0 ， 0).例2求二次曲线F (x，y)= x2 - 2xy + y2 + 2x - 2y - 3 = 0的共轭于非渐近方向卩：u的直 径解 /F (x, y)二 x - y +1, F (x, y)二一x + y -112/.直径方程为U(x 一 y + l)+u(-x + y 一1)二 0即(U-u)(x - y +1) = 0因为已知曲线F(x，y) = 0的渐近方向为卩：u = 1:1，所以对于非渐近方向卩：u 一定 有U工u，因此曲线的共轭于非渐近方向卩：u的
5、直径为x y +1 = 0。它只有一条直径.上述例1 的曲线为中心二次曲线，其直径通过曲线的对称中心，而例2中的曲线是线心 曲线，直径为曲线的中心直线。2.共轭方向与共轭直径定义2称二次曲线的与非渐近方向(U,u)共轭的直径的方向4）U :v 丄-a U + a u ) :a U+ a u )12 2 2 111 2为非渐近方向(PQ)的共轭方向。Hu由(4)式可得即5)6)=t(a |lx + a u)(a |lx + a u)1 2 2 2 11 12 = (a p + a u )tI v = (a p + a u )t11 12F面考虑(P ,u)是否为渐近方向，即申(p, u)是否为零
6、。p(P, u) = a p 2 + 2a p u+ a u 211 12 22= (a a a2 )2(a p2 +2a pu +a u2)t211 22 12 11 12 22= I 2p(p,u)t22因p(p,u)丰0且t h 0，则讨论如下(1) 当I丰0时，即为中心曲线时，P(p,u)丰0，可知中心二次曲线的非渐近方向确2定的共轭方向也是非渐近方向。(2) 当I = 0时，即为非中心曲线时，P(p,u) = 0，可知非中心二次曲线的非渐近方2向确定的共轭方向是渐近方向。由(5)式可知a pp+ a ( pu+ p u)+a uu= 0(7)1 11 2 2 2显然上式 关于(p,u
7、)和(p ,u)是对称的。a a )【注】设A =1112是为P(x, y)的矩阵，则有I a a丿12 22(1) 若aTAa = 0，则称为S的渐近方向；(2) 若aTAP = 0，则称a,卩关于S的共轭方向。定义3 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径称为一对共轭直径。例3求曲线x2 + 2xy 4x 2y + 4 = 0的通过点(2,1)的直径和它的共轭直径。解：已知曲线共轭于方向(p，u)的直径的方程为：p(x + y 2)+u(x 1)= 0，已知它通过点(2,1)，代入直径方程可解得(p,u)=(1,1)，那么直径方程为2x + y 3 = 0，此直径的共轭方向满足 =Jf 22=，即(p,u )=(2 )，那么共轭于此方向的直径u (a p + a u )211 12为 x y=0.课堂练习(1)求抛物线 y2 = 2px 的直径(2)求(y 1)2 = 2x上过点(1,2)的直径和共轭直径。作业： P186 习题 5.4 1(2)(3)、4 、7
