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1、北师大版数学精品教学资料第5课时平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为. 能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定
2、理的特例,即当基底e1、e2时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,一对实数x,y,使得=,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,记作.问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=.即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=.即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)
3、实数与向量的积的坐标运算:设R,a=(x,y),则a=.即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=.即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?由向量的共线定理可知:若a,b(b0)共线,则存在唯一的实数使得.设a=(x1,y1),b=(x2,y2)0,则(x1,y1)=(x2,y2)=,得即两式相减消去得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉b0,即:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b共线.若x20,且y20(也可写
4、作x2y20),则x1y2-x2y1=0可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i、j表示为().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且ab,则2a+3b=().A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=.4.(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求 a+b,a-b,2a+3b.(2
5、)设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求3a-b+c的坐标.平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且AOx=45,OAB=105,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若ABCD,求x的值.在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标
6、.(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;(2)用向量表示沿西偏北60方向移动了3个长度单位;(3)用向量表示沿东偏南30方向移动了4个长度单位.已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量+2-的坐标.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?1.设向量=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A.(5,12)B.(12,5)C.(2,1)D.(1,2)2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为().A.(,-)B.(,-)C.(-,)D.(-,
7、)3.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上,则向量2+3+的坐标为.4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标.(2013年陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若ab,则实数m等于().A.- B. C.-或 D.0考题变式(我来改编):答案第5课时平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直问题2:有且仅有xi+yj(x,y)a=(x,y)问题3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)(x,y)(4)(x1
8、-x2,y1-y2)问题4:a=b(x2,y2)x2y2x1y2-x2y1=0零=成比例基础学习交流1.Aa=(3,4)=3i+4j.2.C由a=(1,2),b=(-2,m),且ab,得1m=2(-2)m=-4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).3.2a+b=(+2,2+3)与c=(-4,-7)共线,(+2)(-7)-(2+3)(-4)=0,解得=2.4.解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2a+3b=2(-1,2)+3(3
9、,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究探究一:【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),AOx=45,a1=|a|cos 45=4=2,a2=|a|sin 45=4=2,a=(2,2)=,A点的坐标为(2,2).将b的起点平移至原点,令b的终点为B,由题意可知BOx=120,所以b1=|b|cos 120=3(-)=-,b2=|b|sin 120=3=,b=(-,).又b=-,=b+=(2-,2+).故a=(2,2),
10、b=(-,),A点的坐标为(2,2),B点的坐标为(2-,2+).【小结】(1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为,由三角函数的定义可知,x=|a|cos ,y=|a|sin .要注意公式中的是向量a的方向与x轴正方向的夹角.探究二:【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),
11、=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=,=-,(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),则有和解得和点C、D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), =(-2,-4).【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.探究三:【解析】ABCD,又=(x2,x+3),=(2x,x+1),x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2或x=0或x=3.问题上述解法正确吗?结论不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足,反向才行.错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,时,AB与CD可能
12、平行也可能重合.于是,正确解答如下:=(x2,x+3),=(2x,x+1),在四边形ABCD中,ABCD,与平行且反向.于是解得x=-2.经检验,x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一:设(1)(2)(3)中的向量分别为=a,=b,=c,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).(1)如图,因为POP=45,|=2,所以a=+=i+j,所以a=(,).(2)因为QOQ=60,|=3,所以b=+=-
13、i+j,所以b=(-,).(3)因为ROR=30,|=4,所以c=+=2i-2j,所以c=(2,-2).应用二:A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),得=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),+2-=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14)=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)=(-18,18)-(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).(ka+b)(a-3b),(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(-3
14、,-+2)=(-,)=-(10,-4)=-(a-3b).k=-,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4),解得当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b).=-0,它们的方向相反.k=-,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.基础智能检测1.D设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(3,7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),解得2.A=(3,-4),所以|=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.(3,4)如图,
