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1、 JINING UNIVERSITY课程教学大纲课程名称:高等代数课程代码:06102适用专业:数学与应用数学高等代数课程（06102）教学大纲一、课程基本信息课程中文名称：高等代数课程代码：06102学分与学时：11学分；180学时课程性质：专业必修课授课对象：数学与应用数学专业（本科）二、课程教学目标和任务高等代数是济宁学院数学系数学与应用数学专业的一门重要的基础课，其主要目标是使学生获得数学的基本思想方法、解题技巧以及提高数学应用能力，培养学生的高度抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力以及灵活的创造性能力。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等）提供一
2、些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生创造性能力有着极大地推动作用。本课程主要包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵、欧氏空间等方面的系统知识。三、学时安排课程与学时分配表章 节 内 容 学 时第一章多项式 24 第二章行列式 18 第三章线性方程组 18 第四章矩阵 16 第五章二次型 12 第六章线性空间 18 第七章线性变换 20 第八章矩阵 18 第九章欧几里得空间 18 第十章双线性函数和辛空间 8四、课程教学内容与基本要求第一章 多项式教学目的：掌握数域的
3、定义,并会判断一个代数系统是否是数域；正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念；掌握多项式的运算及运算律； 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质；正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质；能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式；正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理，掌握标准分解式；正确理解和掌握k重因式的定义；掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质，正确理解多项式与多项式函数的关系；理解代数基本定理，熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式；深刻理解有理系数多项式的分解与整
4、系数多项式分解的关系，掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法； 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法定理、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。 重点和难点：以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点。以不可约多项式和有理系数多项式为难点。教学方法：讲授法，讨论法。主要内容：. 数域数域的定义及其简单性质；判断一个非空数集是否为数域的方法。. 一元多项式 数域P上一元多项式的定义,及其多项式相等、首项、首项系数、次数的定义；多项式的运算及运算律；一元多项
5、式环的定义。. 整除的概念 带余除法及其证明；整除的定义及其性质；多项式的组合。. 最大公因式 两个(或若干个)多项式的最大公因式和两个(或若干个)多项式互素的概念及性质；用辗转相除法求两个多项式的最大公因式的格式与步骤。. 因式分解定理 不可约多项式的定义及性质；因式分解及唯一性定理的证明；标准分解式的定义。. 重因式 重因式的定义及其性质；微商（导数）的定义。. 多项式函数 多项式函数的概念；余数定理；多项式的根（重根）的定义及性质；多项式与多项式函数的关系。. 复系数与实系数多项式的因式分解 代数基本定理；复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。. 有理系数多项式 有理系数多项式的分解与
6、整系数多项式分解的关系，本原多项式的定义；高斯引理；整系数多项式的性质及其有理根的求法；Eisenstein判别法。.10 多元多项式 多元多项式及其次数的定义；字典排列法；多元多项式的首项的定义及其性质；多元多项式的齐次成分。.11 对称多项式对称多项式的定义；初等对称多项式；对称多项式基本定理。第二章 行列式教学目的：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义，掌握排列的奇偶性与对换的关系。深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。熟练掌握行列式的基本性质；正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式；正确理解元素的余子式、代数余
7、子式等概念，熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧；熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。基本要求：通过本章学习，使学生熟练掌握计算行列式的各种方法，并会运用 Gramer 法则求线性方程组的解。重点和难点：重点是 n 阶行列式的定义和性质，行列式的一些计算技巧；关于 Gramer 法则的应用。 难点是Laplace 定理，行列式乘法规则的证明以及应用。 教学方法：讲授法；讨论法。主要内容：.1 引言 线性方程组；二级
8、和三级行列式的定义。. 排列排列、逆序、逆序数、奇偶排列、对换的定义及其性质；排列的奇偶性与对换的关系。. n级行列式 n级行列式的定义；一些特殊行列式的计算方法；行列式的性质1。. n级行列式的性质 行列式的性质27；行列式的简单计算；反对称行列式的性质。. 行列式的计算矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换的定义；阶梯形矩阵；利用行列式性质计算一些简单行列式。. 行列式按一行（列）展开行列式的元素的余子式、代数余子式；行列式按一行（列）展开的公式；范德梦德行列式；“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的计算方法和技巧。. 克拉默法则 克拉默法则及其应用；齐次线性方程组；齐次
9、线性方程组的零解、非零解及其性质。.8 拉普拉斯定理与行列式的乘法规则 行列式的一个k级子式及其（代数）余子式；拉普拉斯(Laplace)定理；行列式的乘法定理。第三章 线性方程组教学目的： 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算，深刻理解n维向量空间的概念；正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的极大无关组。深刻理解和掌握矩阵
10、的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系；熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解；了解结式和判别式以及简单二元高次方程组的解法。基本要求：熟练掌握一般线性方程组解的判别；会以矩阵为工具求解方程组。深刻领会向量组的线性关系。重点和难点：以向量的线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。 以线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。 教学方法：讲授法。主要内容：3.1 消元法一般线性方程组及其系数、常数项、解；线性方程组的初
11、等变换；同解方程组；阶梯形方程组的特征及作用；线性方程组的一般解；线性方程组的增广矩阵；如何用消元法求线性方程组的一般解。3.2 n维向量空间 n维向量及两个n维向量相等的定义；向量的运算及其规则；n维向量空间的定义。3.3 线性相关性线性组合、线性表出、线性相关、线性无关的定义及性质；向量组等价的定义及性质；向量组的极大无关组、秩的定义及其性质；求向量组的极大无关组的方法；向量组的线性相关性与线性方程组的解的关系。 3.4 矩阵的秩 矩阵的行秩、列秩、秩的定义及其性质；矩阵的秩与其子式的关系；求矩阵的秩的方法；矩阵的秩、行列式、线性方程组之间的关系。3.5 线性方程组有解判别定理线性方程组的
12、有解判别定理；线性方程组的公式解。3.6 线性方程组解的结构 齐次线性方程组的解与一般线性方程组的解的性质及关系；齐次线性方程组的基础解系的定义及其求法；线性方程组的解的结构；一般线性方程组的全部解的求法。3.7二元高次方程组 结式的定义及其方法；解二元高次方程组的一般方法。第四章 矩阵教学目的：了解矩阵概念产生的背景，掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律；掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系；正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
13、正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。基本要求：熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。重点和难点：重点掌握矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法。难点为初等变换与矩阵乘法的联系；分块矩阵的运算。教学方法：讲授法，讨论法。主要内容：. 矩阵的概念的一些背景 矩阵概念产生的背景；矩阵的符号表示。. 矩阵的运算 矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律；单位矩阵；数量矩阵。. 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式定理；矩阵乘积的
14、秩与它的因子的秩的关系；矩阵的退化和非退化。. 矩阵的逆可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念；方阵可逆的充要条件；关于逆矩阵的一些性质；用公式法求一个矩阵的逆矩阵。. 矩阵的分块 分块矩阵的含义及其重要性；分块矩阵的加法、乘法的运算及性质；有关分块矩阵的行列式与它的逆的一些结论。. 初等矩阵 初等矩阵的定义及其性质；初等矩阵与初等变换之间的关系；矩阵的等价和矩阵的标准形；矩阵可逆的充要条件；用初等变换法求一个方阵的逆矩阵。. 分块矩阵的初等变换及应用举例分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系及其应用。第五章 二次型教学目的：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。基本要求：掌握用非退化线性替换化二次型为标准形的方法；会判断二次型的正定性。 重点和难点：重点是正定二次型的判定；难点是标准形的化简以及应用矩阵验证。教学方法：讲授法，讨论法。主要内容：
