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1、 几何体外接球或内切球问题的类型与解法几何体外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是几何体外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。纵观近几年高考，归结起来几何体外接球或内切球问题主要包括：已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积（或几何体的体积）；已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积（或几何体的表面积）；已知球内切于几何体，求内切球的体积（或表面积）等几种类型。解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体
2、积（或表面积）公式通过运算就可得出结果。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答几何体外接球或内切球问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：1、（理）如图，在边长为2的正方形A中，线段BC的端点B，C分别在边，上滑动，且B=C=x，现将 AB， CA分别沿AB，CA折起使点， 重合，重合后记为点P，得到三棱锥PABC，现有以下结论：AP 平面PBC；当B，C分别为，的中点时，三棱锥PABC的外接球的表面积为6；x的取值范围为（0，4-2）；三棱锥PABC体积的最大值为。则
3、正确结论的个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4（文）如图，在边长为2的正方形A中，边，的中点分别为B，C，现将 AB， BC， CA分别沿AB，BC，CA折起使点，重合，重合后记为点P，得到三棱锥PABC，则三棱锥PABC的外接球体积为 （2020成都市高三一诊） （理科图） （文科图）【解析】【考点】正方形定义与性质；三棱锥定义与性质；判断直线垂直平面的基本方法；求三棱锥外接球表面积的基本方法；求三棱锥体积的基本方法；求函数最值的基本方法。【解题思路】（理）对根据三棱锥的定义与性质，结合直线与平面垂直的定义与判断方法就可得出结果；对运用三棱锥外接球表面积的计算公式和求三棱锥外接球表面积
4、的基本方法就可得出结论；对根据三棱锥体积的计算公式，结合求三棱锥体积的基本方法可以得到结果；对运用三棱锥的条件公式，把三棱锥的体积表示成含某个参数的式子，在运用求函数最值的基本方法可以得出结论。（文）根据三棱锥的定义与性质，结合问题条件求出三棱锥外接球的半径，运用三棱锥外接球体积的计算公式和求三棱锥外接球体积的基本方法就可得出结果。【详细解答】（理）如图，APC是AC，沿AC折起得到APPC，同理可得APPB， PBPC =P，PB，PC平面PBC， AP平面PBC，正确；B，C分别是， 的中点，A是边长为2的正方形， B=C=1，PB=PC=1，取BC的中点D，过点D作DO平面PBC，垂足为
5、D，连接OB，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，在RtBDO中，BD=BC = =，BO=AP=1，R=OB = ， =4=6正确； B=C=x，B=C=2-xBC=x，B=C=2-xBC=x，2 BC=x， 4（+2）x， x4-2，x，2-2x4-2，错误； 由知AP平面PBC，=.(2-x).(2-x)= sinBPC， = sinBPC 2= sinBPC，当x=2-x，即x=1时，=的最大值是，正确，C正确，选C。（文）如图，取BC的中点D，过点D作DO平面PBC ，垂足为D，连接OB，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，B，C分别是，的中点，四边形A是边长为2的正方形， B=C=
6、1，PB=PC=1，在RtBDOBD=BC=，BO=AP=1， R=OB= ， =。 2、在三棱锥PABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：三棱锥PABC的三条侧棱长均相等；PAB的取值范围上（，）；若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为；若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为（2020成都市高三三诊）（理）其中正确结论的个数是（）A 1 B 2 C 3 D 4（文）其中所有正确结论的编号是（）A B C D 【解析】【考点】三棱锥的定义与性质；点在平面上投影的定义与性质；证明直线垂直平面的基本方法；余弦定理及运用；
7、求三棱锥外接球体积的基本方法；求三棱锥外接球表面积的基本方法。【解题思路】对，运用直角三角形和三棱锥的性质，结合问题条件得到PA=PB=PC，从而正确；对，运用直角三角形的性质和余弦定理，结合问题条件得到0cosPAB，从而求出PAB的取值范围，得出正确；对，运用求三棱锥外接球体积的基本方法，求出三棱锥外接球的体积，得出错误；对，根据问题条件可知，当E为PC的中点时，DE+BE取得最小值，通过运算得出正确，从而得出选项。 P【详细解答】如图，连接BD，三棱锥PABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D， O EDP=DC=1，BD=DC=1，PA=PB=PC= A D C=，正确
8、；0AB2，0cosPAB= B=，PAB，正确；取PD的中点O，连接OC，设三棱锥PABC外接球的半径为R，在RtODC中，OC=R，OD=，CD=1，=1+=，=，错误；连接DE，BE，当E为PC的中点时，DE+BE取得最小值，DE=PC=，BE=， DE+BE的最小值为+=，正确，（理）C正确，选C；（文）C正确，选C3、已知三棱锥PABC的三个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=，则球O的体积为（ ）（2019全国高考新课标I（理）A 8 B 4 C 2 D 【解析】【考点】正三棱锥的定义与性质；正三棱锥外接球的定义与
9、性质；几何体外接球半径的求法；球的体积计算公式与方法；【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的体积公式进行计算得出结果； P【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，设正三角形ABC外接圆的圆心为，连接P，设外接 E O 球的球心为O，连接AO，ABC是边长为2的正 C三角形，D，F分别BC，AB的中点，AD=CF=2 A F B=，A=，PA=PB=PC，ABC 是正三角形，PABC是正三棱锥，PBAC，E，F分别是PA，AB的中点，EF/PB，EFAC，CEF=，ACCE=C，AC，EC平面PAC，EF平面PAC，PB平面PAC，APB=，P
10、A=PB=PC=，PD =1，P=，设外接球的半径为R，在RtAO中，AO=R，O=-R，A=，=+，=+，R=，= D正确选D。4、九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个 球面上，则该球的体积为（ ）（2018成都市高三二诊） A B 8 C D 24 【解析】【考点】四棱锥的定义与性质；四棱锥外接球的定义与性质；几何体外接球半径的求法；球的体积计算公式与方法；【解题思路】运用长方形的性质和四棱锥的性质，结合问题条件求出外接球的半径，利用球的体积公式通过运算就可求出该球的体积； 【详
11、细解答】如图，连接AC，BD相交于点，过作E平面ABCD，设四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O，半径为R，连接CO，四边形ABCD是长方形，AB=2，BC=1，BD=， D=，在RtOD中，OD=R，O= PA=，D=，=+，=+，R=，=， C正确，选C。思考问题1（1）【典例1】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题的基本方法是：根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何
12、体外接球的球心O；构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；由公式：=求出外接球的体积。练习1解答下列问题：1、设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（ ）（2018全国高考新课标III卷）A 12 B 18 C 24 D 542、已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）（成都市20172018高一下期期末质量检测（文）A B 4 C 2 D 【典例2】解答下列问题：1、若矩形ABCD的对角线交点为，周长为4，四个顶点都在球O的表面
13、上，且O=，则球O的表面积的最小值为（ ）（2020成都市高三零诊）A B C 32 D 48【解析】【考点】矩形的定义与性质；几何体外接球的定义与性质；求几何体外接球半径的基本方法；求表面积的计算公式与计算方法。【解题思路】运用矩形性质，几何体外接球的性质和求几何体外接球半径的基本方法，结合问题条件求出几何体外接球的半径，利用球表面积的计算公式通过运算就可得出选项。【详细解答】如图，连接OC，设AB=x，矩形 OABCD的周长为4，BC=2-x，AC D C=+，在RtOC中，O=， C=-AC，=OC=C+ O=AC A B+O=-x+13=+88，当且仅当x=时，=0+8=8为最小，=4的最小值为48=32，C正确，选C。2、已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28，则直三棱柱的侧面积为 （2020成都市高三二诊）【解析】【考点】直三棱柱的定义与性质；直三棱柱外接球的定义与性质；球表面积的定义与基本求法；求
