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2、穷小分析教程概论中论述了在积分区间的某些值处函数值变为无穷（瑕积分）或积分区间趋于时（无穷积分）的反常积分他还结合物理意义提出积分主值的概念广义积分的概念后又被推广到含参变量的广义积分在广义积分和含参变量广义积分的性质以及收敛性研究等方面柯西、阿贝尔(N.H. Abel 18021829)、狄里克莱(P.G.L Dirichlet 18051859)以及维尔斯特拉斯(K.T.W. Weierstrass 18151897)等数学家做了大量的工作二. 多元微积分学多元函数的微积分学是微积分学的一个重要组成部分多元微积分是在一元微积分的基本思想的发展和应用中自然而然地形成的其基本概念都是在描述和分
3、析物理现象和规律中与一元微积分的基本概念合为一体而产生的将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家偏导数的朴素思想在微积分学创立的初期就多次出现在力学研究的著作中但这一时期普通的导数与偏导数并没有明显地被区分开人们只是注意到其物理意义不同偏导数是在多各自变量的函数中考虑其中某一个自变量变化的导数牛顿从和的多项式中导出关于或的偏微商的表达式雅各布伯努利(James Bernoulli 16551705)在他关于等周问题的著作中使用了偏导数尼古拉伯努利(Nicholas Bernoulli 16871759)在1720年的一篇关于正交轨线的文章中也使用了偏导数
4、并证明了函数在一定条件下对求偏导数其结果与求导顺序无关即相当于有 偏导数的理论是由欧拉和法国数学家方丹(Alexis Fontaine des Bertins17051771)、克莱罗(A.C. Clairaut17131765)与达朗贝尔(Jean le Rond DAlembert17171783)在早期偏微分方程的研究中建立起来的欧拉在关于流体力学的一系列文章中给出了偏导数运算法则、复合函数偏导数、偏导数反演和函数行列式等有关运算1739年克莱罗在关于地球形状的研究论文中首次提出全微分的概念建立了现在称为全微分方程的一个方程讨论了该方程可积分的条件达朗贝尔在1743年的著作动力学和174
5、7年关于弦振动的研究中推广了偏导数的演算不过当时一般都用同一个记号d表示通常导数与偏导数现在用的专门的偏导数记号直到19世纪40年代才由雅可比(C.G.J. Jacobi 18041851)在其行列式理论中正式创用并逐渐普及重积分的概念牛顿在他的原理中讨论球与球壳作用于质点上的万有引力时就已经涉及到但他是用几何形式论述的在18世纪上半叶牛顿的工作被以分析的形式加以推广1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分： 积分区域由椭圆围成1769年欧拉建立了平面有界区域上二重积分理论他给除了用累次积分计算而重积分的方法而拉格朗日(J.L. Lagrange1
6、7361813)在关于旋转椭球的引力的著作中用三重积分表示引力为了克服计算中的困难他转用球坐标建立了有关的积分变换公式开始了多重积分变换的研究与此同时拉普拉斯(P.S. Laplace 17491827)也使用了球坐标变换1828年俄国数学家奥斯特洛格拉茨基在研究热传导理论的过程中证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式现在称为奥斯特洛格茨基-高斯公式（高斯也曾独立地证明过这个公式）同一年英国数学家格林(G. Green17931841)在研究位势方程时得到了著名的格林公式1833年以后德国数学家雅可比建立了多重积分变量替换的雅可比行列式与此同时奥斯特洛格拉茨基不仅得到了二重积分和三重积分的
7、变换公式而且还把奥-高公式推广到维的情形变量替换中涉及到的曲线积分与曲面积分也是在这一时期得到明确的概念和系统的研究1854年英国数学物理学家斯托克斯(G.G. Stokes 18191903)把格林公式推广到三维空间建立了著名的斯托克斯定理多元微积分和一元微积分同时随着其理论分析的发展在数学物理的许多领域获得广泛的应用 三无穷级数在数学史上级数出现的很早古希腊时期亚里士多德就知道公比小于1(大于零)的几何级数可以求出和数阿基米德(Archimedes BC.287BC.212)也求出了公比为的几何级数的和14世纪的法国数学家奥雷姆证明了调和级数的和为无穷并把一些收敛级数和发散级数区别开来但直
8、到微积分发明的时代人们才把级数作为独立的概念无穷级数是现代微积分的重要组成部分它从离散的角度来研究函数关系无穷级数几乎是和微积分同时产生的由于级数是研究复杂函数性质的有力工具所以18世纪时无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分实际上在微积分的初创时期就为级数理论的建立提供了基本素材许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的纯形式的结合得到了一些初等函数的幂级数展开式如1669年牛顿在他的分析学中给出了和的级数展开格雷戈里(J.Gregory 16381675)得到了等函数的级数莱布尼茨也在1673年独立地得到了和的级数在微积分早期阶段研究超越函数时用它们的级数来处理是所用方法中最富有成
9、效的在这个时期级数还被用来计算一些特殊的量如和以及求隐函数的显式解17世纪后期和18世纪为了适应航海、天文学和地理学的发展摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值由于对函数表的精确度要求较高数学家们开始寻求较好的插值方法牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式1721年泰勒(B. Taylor16851731)在牛顿-格雷戈里公式的基础上提出了函数展开为无穷级数的一般方法建立了著名的泰勒定理18世纪末拉格朗日在研究泰勒级数时给出了我们今天所谓的泰勒定理即其中 现在被称为拉格朗日余项1742年马克劳林(C. Maclaurin16981746)给出了泰勒级数在时的特殊情形称为马克劳林级数雅各布贝努利、
10、欧拉、斯特灵(J. Stirling16921770)等都对级数理论的早期发展做了大量的工作18世纪级数方法的研究取得了很多的成就这一时期许多的数学家都把级数看作多项式的代数的推广级数的收敛和发散问题虽然没有被完全忽视但也没有引起数学家们的足够重视由于工作中产生的明显困难在1810年前后数学家们开始确切地表述无穷级数高斯在其无穷级数的一般研究（1812年）中第一个对级数的收敛性作出重要而严密的探讨1821年柯西给出了级数收敛和发散的确切定义并建立了判别级数收敛的柯西准则以及正项级数收敛的根值判别法和比值判别法推导出交错级数的莱布尼茨判别法然后他研究函数项级数给出了确定收敛区间的方法并推广到复变
11、函数的情形函数项级数的一致收敛性概念最初由斯托克斯和德国数学家赛德尔认识到1842年维尔斯特拉斯给出一致收敛概念的确切表述并建立了逐项积分和微分的条件狄里克莱在1837年证明了绝对收敛级数的性质并和黎曼(B. Riemann18261866)分别给出例子说明条件收敛级数通过重新排序使其和不相同或等于任何已知数到19世纪末无穷级数收敛的许多法则都已经建立起来傅立叶级数18世纪中叶以来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和克莱罗等人在研究天文学和物理学中的问题时相继得到了某些函数的三角级数表达式人们逐渐认识到不仅只是周期函数非周期函数也可以表示成三角级数的形式并开始寻求如何把所有类型的函数都表示成三角级数的方
12、法18世纪末这个问题已经非常引人注目了到了19世纪法国数学家傅立叶(J. Fourier17681830)在研究热传导问题时创立了傅立叶级数理论1807年傅立叶向法国科学院提交了一篇关于热传导问题的论文提出了任意周期函数都可以用三角级数表示的想法成为傅立叶分析的起源但当时这篇论文并没有被采纳1822年傅立叶发表了他的经典著作热的解析理论书中研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随时间和空间的变化规律同时也系统地研究了函数的三角级数表示问题并断言任意（实际上有一定条件）函数都可以展成三角级数他列举了大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性他首先认为如果是一个以为周期的函数那么可以表示为其系数由 （） （）确定这就是我们通常所称的傅立叶级数 不过傅立叶从没有对任意函数可以展成傅立叶级数这一断言给出过任何完全的证明也没有指明一个函数可以展成三角级数必须满足的条件狄里克莱第一个给出函数的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件黎曼也对傅立叶级数的研究做出了贡献他建立了重要的局部性定理并证明了傅立叶级数的一些性质德国数学家海涅(E. Heine 18211881)、G康托(G. Cantor18451918)以及匈牙利数学家费耶尔(E. Fischer 18751959)等等许多数学家都为傅立叶级数理论的发展做了大量的工作1
