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1、数学专业毕业论文数学专业毕业论文目 录摘 要I1 绪论111课题的研究意义112国内外研究现状113研究目标22 关于独立分布的中心极限定理的探讨321中心极限定理的提法322独立同分布情形的两个定理3221 林德伯格-勒维中心极限定理4222隶莫弗拉普拉斯定理523独立不同分布情形下的中心极限定理6231林德贝格中心极限定理6232李雅普诺夫中心极限定理1124本章小结123 中心极限定理在商业管理中的应用1331 水房拥挤问题1332设座问题1533盈利问题1634抽样检验问题1735供应问题18结 语19参考文献20附录22中心极限定理探讨及应用摘 要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们
2、间的关系谈起，通过对概率论的经典定理中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值关键词：弱收敛;独立随机变量;特征函数;中心极限定理第 I 页08级数学与应用数学专业毕业论文1 绪论11课题的研究意义概率统计学是一门研究随机现象统计规
3、律性1的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算2极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景在自然界与生产中，一些现象受到许多相
4、互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的中心极限定理就是从数学上证明了这一现象最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题 1716年前后，棣莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美
5、长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展同时新的极限理论问题也在实际中不断产生这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义12国内外研究现状 中心极限定理作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善这方面的文章较多，它们的结果也比较完美但是他们注重于研究单一的方向，而几个定律之间的关系和应用方面的较少出于这种现状本文通过对独立条件下的中心极限定理做系统的分析，主要研究和讨论几个中心极限定理之间的关系以及中心极限定理所揭示的理论意义和他
6、们的应用同时对文中出现的定理和结论做系统的分析和证明，所以对教学和科研方面具有一定的参考价值13研究目标 通过对独立随机序列的中心极限定理做系统的分析，阐明中心极限定理它们之间的关系以及举例说明中心极限定理在实际问题中的应用为教学和科研供参考 2 关于独立分布的中心极限定理的探讨凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理，在概率论中统称中心极限定理具体一点说，中心极限定理回答的是(独立或弱相依)随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态的中心极限定理是揭示产生正态分布的源泉，是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础21中心极限定理的提法直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷
7、多个)随机因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观在许多情形下，一随机变量可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和， (a)这里，每个直观上表示一种随机因素的效应，假如式(a)包含了决定的充分多的随机因素的效应(即充分大)，则的分布就近似于X的分布中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的中心极限定理的名称最早是由仆里耶(1920年)提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1
8、821年1894年)提出来的下面我们介绍四个主要定理:1)林德伯格一勒维定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普诺夫定理其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论22独立同分布情形的两个定理中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项上的条件不同独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格-勒维定理历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分)定理是它的特殊情形设的方差，大于，令 （1）我们说，随机变数列服从中心极限定理，如果关于均匀的有 （2） (2)表示：随机变量数的分布
9、函数关于均匀的趋于正态分布的分布函数独立同分布的两个定理：221 林德伯格-勒维中心极限定理设相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差：记 则对任意实数，有 （3）证明 为证（1）式，只须证的分布函数列若收敛于标准正态分布又由定理4343，只须证的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数为此设的特征函数为，则的特征函数为 又因为，所以有 ， 于是特征函数有展开式 从而有 ，而正是分布的特征函数，定理得证例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为的泊松分布若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率解:设某汽车销售点每天出售的汽车辆数,则,为
10、一年的总销量由,知利用林德贝格-勒维中心极限定理可得, 这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为08665222隶莫弗拉普拉斯定理在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0p1），为n次试验中事件A出现的次数，且记 且对任意实数，有 此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2是定理1的推论例2 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20,以表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数(1)写出的分布列;(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值解:(1) 服从的二项分布,即 (2)利用隶莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有 这表明被盗户不少于14户且
11、不多于30户的概率近似值为0943723独立不同分布情形下的中心极限定理对于独立同分布随机变量序列只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立而在实际问题中说诸具有独立性是常见的，但是很难说诸是“同分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差的产生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即则间具有独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件林德伯格(Lideberg)于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件231林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列 满足林德贝格条件，则对任意的，有
12、为证此，先证下列三个不等式：对任意实数，有 ； (4) (5) (6)实际上，对上三式明显设，则 ； ； 利用，可见（4）（5）（6）方都是的偶函数，故他们对也成立定理三的证明，先把记号简化令 （7）以、分别表的特征函数与分布函数，因而 （8） ， （9） （10）在这些记号下，由（6） 故林德贝格条件可化为：对任意， ； （11）而(2)式化为：对均匀的有 （12）如果在条件（11）下，能够证明的特征函数 亦即 （13） 那么根据定理3234，（12）成立；再由定理313，（12）中收敛对还是均匀的，于是定理3得以证明现在也就是只要证出（13）成立 则问题得证 为了证明（13），分两步（甲）先证可展开为 ， （14）其中函数在任意有穷区间内趋于实际上，由（9）中前一式 （15）根据（5）
