《立体几何解答题的建系设点问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何解答题的建系设点问题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何解答题的建系设点问题、基础知识:(一)建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面咼咼向上的即是，而坐标原点即为与底面的交点2、x, y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考:(1)尽可能的让底面上更多的点位于x, y轴上(2)找角：x,y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件(3)找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直(即一个线面垂直底面两条线垂直)，这个过程不能省略。3、与垂直相关的定
2、理与结论:(1)线面垂直:如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直直棱柱：侧棱与底面垂直(2)线线垂直(相交垂直) 正方形，矩形，直角梯形等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一) 菱形的对角线相互垂直 勾股定理逆定理：若 AB2 AC2 BC2，则AB AC(二)坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为1、能够直接写出坐标的点(1)坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为(2)底面上的点：坐标均为x
3、,y,0，即竖坐标z 0 ,由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果A x1, y1, z在底面的投影为 A x2,y2,0，那么人 x2, y1 y2 (即点与投影点的横纵坐标相同)由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐B方案二（以CD为轴）,F 0,0,1过C作CD的垂线CM Q CF平面ABCD标，而竖坐标为该点到底面的距离。以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点中点坐标公式
4、：A x1, y1,z1 ,B x2, y2, z2 ，则AB中点M 生上 览，弓Z2 ，图中的H,I,E,F等 中点坐标均可计算 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位 置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值1.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/ CD , AD DC CB 1, ABC 60,FAB=2, CF平面ABCD，且CF 1,建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。（两种方法）思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面 ABCD找过C的相互垂直的直 D （ / C 线即可。
5、由题意， BCD不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂、线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择BC为轴），连结AC2 2 2可知 ADC 120在 VADC 中 AC AD DC :AC 73 由 AC 73, BC 1, ABC 60 可解得 ABAC BCQCF 平面 ABCD CF AC,CF BC以AC,CF,BC为坐标轴如图建系：CF CD,CF CM以CD,CF,CM为坐标轴如图建系:（同方案一）计算可得： CM,AB 22A , 3,0 ,B -,-,0 ,D 0, 1,0 ,F 0,0,12 2 2 22. 已 知 四 边 形 ABCD 满 足1
6、AD/ BC,BA AD DC -BC a , E 是 BC 中点，将2成VB!AE，使得平面EAE 平面AECD , F为BQ中点BVBAE翻折思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。题在翻折时，VBAE是等边三角形，四边形 AECD为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面面AECD，结合VBAE是等边三角形，可取 AE中点M，则可证BM 平面AECD，再在四边形组过M的垂线即可建系bae 平AECD 找一解：取AE中点M，连结BMqvbae是等边三角形bm AE平面BAE 平面AECDbm 平面AECD，连结DMQ四边形AEC
7、D为60的菱形VADE为等边三角形bm me, bmDM AEB M , MD , ME两两垂直如图建系，设 AB为单位长度11寸 3yJ3A,0,0 ,E,0,0,D 0,0 ,C 1,0 ,B222 2F为B D中点F3、30, 一443.如图，在四棱柱 ABCD-A3GD,中，侧棱 A,A 底面ABCD , AB AC , AB=1,AC = AA =2,AD =CD = J5,且点M和N分别为BiC和DiD的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐 标,B11C11D1均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知IN乂D思路：由 AA 底面
8、ABCD，AB AC可得AA1,AB, AC两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中识进行计算。解：Q侧棱A,A 底面ABCDAA AB.AiA ACQ AB ACAB, AC, AA1 两两垂直以AB, AC, AAi为轴建立直角坐标系底面上的点：B 0,1,0 ,C 2,0,0AC中点，贝U DP AC由AD =CD = 5可得VADC为等腰三角形，若 P为DP . AD2 AP22D 1, 2,0可 投 影 到 底 面 上 的 点 ：A 0,0,2 ,B1 0,1,2 ,G 2,0,2 ,D1 1, 2,2因为M和N分别为EB1C和D1D的中点M 1,1,1 , N 1, 2,12综上
9、所述:B 0,1,0,C 2,0,0 ,D 1, 2,0 , A 0,0,2 ,B0,1,2 ,C 2,0,2 ,D1 1, 2,2M 1丄,1 , N 1, 2,124.已知斜三棱柱 ABC A1B1C1, BCA 90, AC BC 2,A1在底面ABC上的射影恰为 AC的中点D，又知BA AC1, E为BB靠近点B的三等分点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：本题建系方案比较简单，AD 平面ABC，进而A1D作z轴，再过D引AC垂线即可。难点有棱柱的咼未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是B1的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC ）,第一个问题可先将高设为h，再利用条件B
10、A1 AC1求解；解：过D作AC的垂线DM , Q A1D 平面ABCAD DC, AD DM，而 DM DC以A1D, DC, DM为轴建立直角坐标系A 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,B 2,1,0，设高为 h第二个问题可以考虑利用向量计算得到。C1则a（0,0,h，设 C1x, y,zuuuruuuur则AC0,2,0 ,AC1x, y,zhx 0x0uuurujuur由ACA|C1可得：y 2y2z h 0zhC1 0,2, hujuruuuuBA 2, 1,h ,AG0,3,huur uuiuBA AC1BA1 AC1 03h20，解得 h ,3uuuuA B1A1 0,0, ,3
11、 Q 0,2, x3uuuuuuuuuux 2而 AB 2,2,0且 A1B1ABy 2B1 2,2,3设 B1 x,y, .3x,y,0综上所述： A 0, 1,0 ,C 0,1,0 , B 2,1,0 ,A 0,0, 3 ,C1 0,2,、3 , B1 2,2,3uuur设 C x, y, z，则 CiCx, y,z.5uuurA,Auuurunrx0x0由CiC AA可得：y2 2y2z5 0z.5综上所述:c 0, 2、一2八55.如图，在三棱柱ABC ABG中，H是正方形AAB的中心，AAi2. 2,CiH平面AAB ,CiH.5 ,建立适当的坐标系并确定各点坐标思路：CiH 平面A
12、AiBiB，从而CiH可作z轴，只需在平面ARBiB找到过H的两条垂线即可建系（两种方案）， umr uuir对于坐标只有c坐标相对麻烦，但由 cic aa可以利用向量进行计算。解：方案一：（利用止方形相邻边垂直关系建系）如图建系：贝yA.2,0 ,A .2,2,0 ,Bi .2, .2,0B .2,2,0 ,Ci 0,0八 5A 5, .2,0 ,A 运 J,0 ,Bi.2,、2,0 ,b 、2,2,0B 2,0,0 ,Ci 0,0八 5uuurAAuuur设 C x,y,z，则 CiCx, y,zuuurunrx2x2由CiC AA可得：y2y2z0z5综上所述:C 2, 2,Ci 0,0八 5 ,c 0, 2.2,方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由 AA 2J2计算可得 AHBiHA 2,0,0 ,A 0, 2,0 ,Bi 0,2,0A 2,0,0 ,A 0, 2,0 ,Bi 0,2,0 ,B 2,0,0 , Ci 0,0,75 ,C 2, 2,75
