纳什均衡案例

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1、纳什均衡案例奥斯卡获奖电影美丽心灵主角原型、诺贝尔奖得主、美国数学家约翰- 纳什日前与妻子在美国新泽西州乘搭的士时遇上车祸，两人均不幸遇难。纳什在与命运的博弈中找到均衡， 纪念大师最好的方式就是尝试了解博弈论。 纳什均衡的应用是多领域的。 而事实上， 从日常生 活中可以找到很多纳什均衡的经典案例， 让我们普通人也可以尝试了解一下这一世界级的发现 和理论！首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义： 所谓纳什均衡， 指的是参与人的这样一种 策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说，如果在一 个策略组合上， 当所有其他人都不改变策略时， 没有人会改变自己的策略， 则该

2、策略组合就是 一个纳什均衡。大家可以现有一个简单的印象，结合下面的案例再回来看这个定义。案例一、智猪博弈 猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏 板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。 如果有一只猪去踩踏板， 另一只猪就有机会 抢先吃到另一边落下的食物。 当小猪踩动踏板时， 大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的 食物；若是大猪踩动了踏板， 则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽， 争吃到另一半 残羹。 那么，两只猪各会采取什么策略？答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒 舒服服地等在食槽边； 而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之

3、间。原因何在？因为，小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。对小猪而言，无论大猪是否踩动踏 板，不踩踏板总是好的选择。反观大猪，已明知小猪是不会去踩动踏板的，自己亲自去踩踏板 总比不踩强吧，所以只好亲力亲为了。案例二、囚徒困境 （ 1950 年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲 演时，讲到两个囚犯的故事。 ）假设有两个小偷 A 和 B 联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两 个房间内进行审讯， 对每一个犯罪嫌疑人， 警方给出的政策是： 如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪 行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。 如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白， 则两人

4、各被判刑 8年；如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖， 则以妨碍公务罪 （因已有证据 表明其有罪）再加刑 2年，而坦白者有功被减刑 8 年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因 证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱 1 年。囚徒困境博弈A B坦白抵赖坦白-8 ，-80，-10抵赖-10 ，0-1，-1关于案例，显然最好的策略是双方都抵赖,结果是大家都只被判1年。但是由于两人处于隔离的情况，首先应该是从心理学的角度来看，当事双方都会怀疑对方会出卖自己以求自保、 其次才是亚当斯密的理论，假设每个人都是“理性的经济人”，都会从利己的目的出发进行选择。这两个人都会有这样一个盘算过

5、程：假如他坦白，如果我抵赖，得坐10年监狱，如果我坦白最多才8年；假如他要是抵赖，如果我也抵赖，我就会被判一年，如果我坦白就可以被释 放，而他会坐10年牢。综合以上几种情况考虑，不管他坦白与否，对我而言都是坦白了划算。 两个人都会动这样的脑筋，最终，两个人都选择了坦白，结果都被判8年刑期。基于经济学中Ratio nal age nt的前提假设，两个囚犯符合自己利益的选择是坦白招供，原 本对双方都有利的策略不招供从而均被判处一年就不会出现。这样两人都选择坦白的策略以及 因此被判8年的结局，纳什均衡”首先对亚当斯密的“看不见的手”的原理提出挑战：按照 斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目

6、的出发，而最终全社会达到利他的效果。 但是我们可以从“纳什均衡”中引出“看不见的手”原理的一个悖论：从利己目的出发，结果 损人不利己，既不利己也不利他。案例三、普通范式博弈G00公司和SAM公司是某手机产品生态的两大重量级参与者，双方在产业链的不同位置上各司其职且关系暧昧，有时也往往因商业利益和产品影响力的争夺而各怀异心。二者的收益也随着博弈的变化而不断更替。SAM合作背叛|合作背叛|5,-3-1,-1上图表格模拟了两家公司的博弈现状，双方各有两个可选策略“合作”与“背叛”，格中的四组数据表示四个博弈结局的分数（收益），每组数据的第一个数字表示GOO公司的收益， 后一个数字表示SAM公司的收益

7、。博弈是同时进行的， 一方参与者必须站在对方的角度上来思考我方的策略选择， 以追求收 益最大化。这在博弈论里称作 Putting yourselves into other peoples shoes。现在我们以GO（公司为第一人称视角来思考应对 SAM公司的博弈策略。假如SAM公司选择 合作，那么我方也选择合作带来的收益是 3，而我方选择背叛带来的收益是 5，基于理性的收 益最大化考虑，我方应该选择背叛，这叫严格优势策略；假如SAM公司选择背叛，那么我方选择合作带来的收益是 -3，而选择背叛带来的收益为 -1，为使损失降到最低， 我方应该选择背叛。 最后，GO（公司的分析结果是，无论SA憾司

8、选择合作还是背叛策略，我方都必须选择背叛策 略才能获得最大化的收益。同理，当SAM公司也以严格优势策略来应对 GO公司的策略选择时， 我们重复上述分析过程，就能得出结论：无论 GOO公司选择合作还是背叛策略，SAM公司都必 须选择背叛策略才能获得最大化收益。 最后我们发现，本次博弈的双方都采取了背叛策略， 各自的收益都为 -1，这是一个比较糟糕的结局， 尽管对任何一方来说都不是最糟糕的那种。 这 种局面就是著名的“囚徒困境” 。但是，博弈的次数往往不止一次，就像COOf SAM公司双方的商业往来也许会有很多机会。 当二者经历了多次背叛策略的博弈之后，发现公式上还有一个（ 3， 3）收益的双赢局

9、面，这比 （-1， -1）的收益结果显然要好很多，因此二者在之后的博弈过程中必然会尝试互建信任，从 而驱使双方都选择合作策略。 这里有一个理想化假设，那就是假设双方都知道博弈次数是 无限的话， 也就是说双方的商业往来是无止尽的， 那么二者的策略都将持续选择合作， 最终的 博弈收益将定格在（ 3， 3），这就是一个纳什均衡。既然博弈次数是无限的，那么任何一方都 没有理由选择背叛策略去冒险追求 5 点短暂收益， 而招致对方在下一轮博弈中的报复 （这种报 复在博弈论里称作“以牙还牙”策略） 。还有另一种假设情况是， 假使双方都知道博弈次数是有限的， 也许下一次博弈就是最后一 次，那么为了避免对方在最

10、后一轮博弈中选择背叛策略而使我方遭受 -3 的收益损失，于是双 方都重新采取了背叛的策略选择，最后的博弈结果又回到了（ -1， -1 ），这就形成了第二个纳 什均衡。由此可见，随着次数（博弈性质）的变化，纳什均衡点也并非唯一，这在下一个例子中有 着更明显的表现。案例四、饿狮博弈题设为 A、B、C、D、E、F 六只狮子（强弱从左到右依次排序）和一只绵羊。假设狮子A吃掉绵羊后就会打盹午睡，这时比 A稍弱的狮子B就会趁机吃掉狮子A,接着B也会午睡，然后狮子C就会吃掉狮子B,以此类推。那么问题来了，狮子 A敢不敢吃绵羊?繼羊 狮子A 師子B 弭子匚 邇子D 師3E娜子F +为简化说明，我们先给出此题的

11、解法。该题须采用逆向分析法，也就是从最弱的狮子F开始分析，依次前推。假设狮子 E睡着了，狮子F敢不敢吃掉狮子E?答案是肯定的，因为在 狮子F的后面已没有其它狮子，所以狮子 F可以放心地吃掉午睡中的狮子 E。继续前推，既 然狮子E睡着会被狮子F吃掉，那么狮子E必然不敢吃在他前面睡着的狮子 D。再往前推， 既然狮子E不敢吃掉狮子D,那么D则可以放心去吃午睡中的狮子 C。依次前推，得出C不吃， B吃，A不吃。所以答案是狮子 A不敢吃掉绵羊。细心的人也许会发现，假如增加或减少狮子的总数，博弈的结果会完全不同。我们用下图 来验证：|- | 不吃“叵j 丄吧脈孑A 昭E 额子匸期孑D 丽孑E 昭F 狮孑&

12、我们在狮子F的后面增加了一只狮子G,总数变成7只。用逆向分析法按照上题步骤再推 一次，很容易得出结论：狮子 G吃，狮子F不吃，E吃，D不吃，C吃，B不吃，A吃。这次的 答案变成了狮子A敢吃掉绵羊。对比两次博弈我们发现，狮子 A敢不敢吃绵羊取决于狮子总数的奇偶性，总数为奇数时， A敢吃掉绵羊；总数为偶数时，A则不敢吃。因此，总数为奇数和总数为偶数的狮群博弈结果 形成了两个稳定的纳什均衡点。案例五、硬币正反你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪， 并要求和你一起玩个数学游戏。 美 女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，

13、剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩 这个游戏呢？这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗？每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡， 一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩 家都能够采取固定的策略（比如一直出正面或者一直出反面），使得每人都赚得最多或亏得最少；或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡你 美女美女出正面美女出反面你出正面+3， -3-2 ， +2你出反面-2， +2+1 ， -1假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y 。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，由

14、此列出方程就是 3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x ) 解方程得 x=3/8 。同样，美女的收益，列方程-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)解得y也等于3/8 ,而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8 元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况 下，平均每次美女赢 1/8 元。其实只要美女采取了 (3/8,5/8) 这个方案，不论你再采用什么方案， 都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8 元；如果全部出反面，每次 的期望收益也是 (-2-2-2+1+

15、1+1+1+1)/8=-1/8 元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组 合，所以期望还是 -1/8 元。但是当你也采用最佳策略时， 至少可以保证自己输得最少。 否则， 你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔掉更多。案例六、公地悲剧 公地作为一项资源或财产有许多拥有者，他们中的每一个都有使用权，但没有权利阻止 其他人使用，而每一个人都倾向于过度使用，从而造成资源的枯竭。过度砍伐的森林、过度捕 捞的渔业资源及污染严重的河流和空气，都是“公地悲剧”的典型例子。之所以叫悲剧，是因 为每个当事人都知道资源将由于过度使用而枯竭， 但每个人对阻止事态的继续恶化都感到无能 为力。而且都抱着“及时捞一把”的心态加剧事态的恶化。公共物品因产权难以界定而被竞争 性地过度使用或侵占是必然的结果。哈丁在公地的悲剧中设置了这样一个场景：一群牧民一同在一块公共草场放牧。一个 牧民想多养一只羊增加个人收益，虽然他明知草场上羊的数量已经太多了，再增加羊的数目， 将使草场的质量下降。 牧民将如何取舍？如果每人都从自己私利出发， 肯定会选择多养羊获取 收益，因为草场退化的代价由大家负担。 每一位牧民都如此思考时， “公地悲剧”就上演了 草场持续退化，直至无法养羊，最终导致所有牧民破产。公地悲剧在英国是和“圈地运动”联系在一起的。 15， 16 世纪的英国，草地、