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1、立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间
2、四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB证明：（1） BC ACCE AB 同理,ADAEBDBEDE ABAE BE又CEDE E AB 平面 CDE(2)由(1)有 AB平面 CDE又AB平面 ABC，平面 CDE平面 ABC的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC。C例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD的底面是菱 形.PB PD， E为PA的中点.（I）求证：PC /平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平面 BDE .AB例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC中 ACB 90,SA 面ABC,AD S
3、C,求证：AD证明：vACB 90 BCAC又SA面ABCSA BCBC面SACBCAD 又SCAD,SCBC CAD面SBC面 SBC .CB例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆0在平面，AB是圆0的直 径，C是圆0的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证：AE 平面PBC .证明： PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又 AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角，BC AC.v PAI AC A, PA 平面 PAC，AC 平面 PAC . BC 平面 PAC，AE 平面 PAC，二 AE BC .v PA AC，点E
4、是线段PC的中点.二AE PC .v PCI BC C, PC 平面 PBC， BC 平面 PBC . AE 平面 PBC .ABCD是等腰梯形，AB / CD，例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB= 60，AE丄 BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED;证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60,所以/ ADC = / BCD = 120.又 CB = CD，所以/ CDB = 30,因此/ ADB = 90，即AD 丄 BD.又 AE 丄 BD，且 AEG AD = A，AE，AD?平面 AED，所以BD丄平面A
5、ED.腰直角三角形，/ BAC = 90且AB= AAi, D、E、F分别为BiA、C1C、BC的中点.求证：（1）DE /平面 ABC; （2）BiF丄平面 AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC BD丄AC AC为AiC在平面AC上的射影BD AiC厂AiC平面BCiD同理可证AiC BCiDiCiC练习；i、如图在三棱锥 P ABC中，AB = AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：APIBC;B12、直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC= BC= qAAi, D是棱AA的中点，DCi丄
6、BD.证明：DCi丄BC。3. 如图，平行四边形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD = 4将 CBD沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE; (2)求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA1 1，求点A到平面A1BC的距离。D5、如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)CD丄PD;(2) EF丄平面PCD.6、如图7-5-9(1)，在RtAABC中，/ C = 90, D, E分别为AC, AB的
7、中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到 AiDE的位置，使AiF丄CD，如图.(1)求证：DE/平面 AiCB.求证：AiF丄BE.线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?说明理由.立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（
8、4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：AC,AD BD，E 是 AB例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC。证明：（1）BCAEACBECE AB同理AD BDDE AB又CEDE E AB 平面 CDE(2)由(1)有 AB平面 CDE又AB平面 ABC，平面 CDE 平面 ABCAC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD的底面是菱 形.P
9、B PD，E为PA的中点.（I）求证：PC /平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平面 BDE .CAB例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC中 ACB 90,SA 面ABC,AD SC,求证：AD证明：vACB 90 BCAC又SA面ABCSA BCBC面SACBCAD 又SCAD,SCBC CAD面SBC面 SBC .CB例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆0在平面，AB是圆0的直 径，C是圆0的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证：AE 平面PBC .证明： PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又 AB
10、是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角，BC AC.v PAI AC A, PA 平面 PAC，AC 平面 PAC . BC 平面 PAC，AE 平面 PAC，二 AE BC .v PA AC，点E是线段PC的中点.二AE PC .v PCI BC C, PC 平面 PBC， BC 平面 PBC . AE 平面 PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB= 60，AE丄 BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED;证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60,所以/ ADC = / B
11、CD = 120.又 CB = CD，所以/ CDB = 30,因此/ ADB = 90，即AD 丄 BD.又 AE 丄 BD，且 AEG AD = A，AE，AD?平面 AED，所以BD丄平面AED.例6 （勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1 中， ABC 为等腰直角三角形，/ BAC = 90且AB= AAi, D、E、F分别为BiA、C1C、BC的中点.求证：（1）DE /平面 ABC; （2）BiF丄平面 AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC BD丄ACAC为AiC在平面AC上的射
12、影BD AiCAiC 平面BCiD同理可证AiC BCiBiBC练习；i、如图在三棱锥 P ABC中，AB = AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：APIBC;n12、直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC= BC = qAAi, D 是棱 AA 的中点，DCi丄 BD.(1)证明：DCiDC1.丄BC;证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点，故DC 又 AC = ?AA1,可得 DC1 + DC2 = CC2,所以 DC1 丄DC.又DC1丄BD，DCA BD= D，所以DC1丄平面BCD.因为BC?平面BCD，所以DC1丄BC.3. 如图
13、，平行四边形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD = 4将 CBD沿BD折起到 EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE;(2) 求三棱锥EABD的侧面积.(1)证明：在ABD中，AB = 2，AD = 4,/DAB = 60 设F为AD边的中点，连接FB,ZABF为等边三角形,ZAFB = 60又DF = BF = 2,azbFD为等腰三角形./zFDB = 30,故/ABD = 90：AB丄BD.又平面EBD丄平面ABD,平面EBD G平面ABD = BD, AB?平面ABD,AB丄平面 EBD. IDE?平面 EBD,：AB丄 DE.【解析】
14、由知AB丄BD, VCD /AB,ACD丄BD，从而DE丄BD.1在 RtQBE 中，：DB = 2衍，DE = DC = AB = 2,：Szdbe = qDB DE = 3.AB丄平面 EBD, BE?平面 EBD,：AB丄BE.：BE= BC = AD = 4,Szabe = 2AB BE = 4.TDE 丄BD,平面 EBD丄平面 ABD ,：ED丄平面 ABD.而 AD?平面ABD,.ED 丄 AD ,.Szade= AD DE = 4.综上，三棱锥EABD的侧面积S= 8+ 2/3.4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA1 1，求点A到平面AiBC的距离。6如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱FA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)
