《不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、洛必达法则简介:法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)lim f x UOx )a与g(x)可导且g(x)丰0 ;及 lim g x =0;x a那么 limiA = |imlA.| 。 x卡 g(x ) XT g , (x ) lim f x =0 及 lim g x =0;法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件： A0 , f(x)和 g(x)在-：,-A 与 A,：上可导，且 g(x)丰 0;lim那么lim ? = lim 匚上二lx ； ： g x x $: g x法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：lim f x -:及lim g
2、 x二：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)丰0;f (x)(3) liml ,x旧g X北 /f(X ) f (X )那么 lim = liml。XT g(x) XT g, (x )利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:CD将上面公式中的Xi a, Xis换成Xi+ s, XT - a, x- a , x- a洛必达法则也成立。0A0QQ00CC洛必达法则可处理 一，一，0二,5型0 00IUO0C 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，一， 0 二 ,1 ， :, 0 ，型定式，0 O0IU否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，
3、就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。C 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则应用：1.(2010年全国新课标理)设函数f (x) =ex-1 - x - ax 2。(1) 若a=0,求f(x)的单调区间；(2) 若当x _0时f (x) _0 ,求a的取值范围原解：(1)a=0 时，f(x) = ex-1-x, f(x)=ex-1.当 x?(一二,0)时，f(x) : 0 ;当 x? (0,;州寸，f(x) .0 ?故取)在(一：，0)单调减少，在(0,二)单调增加(11) f (x)二 ex -1 -2ax由知ex_ 1 x ,当且仅
4、当x =0时等号成立 ？故f (x) _ x - 2ax = (1 -2a)x,1从而当 1 -2a 0,即 a 时，f (x) _ 0 (x _ 0),而 f (0) = 0 ,2于是当x _0时，f(x) _0 .xV1由e 1 x(x = 0)可得e -1 -x(x = 0).从而当a时，2x_x_x XXf(x) ： : e -1 2a(e -1) = e (e -1)(e -2a),故当 x (0,ln 2a)时，f(x) : 0,而 f (0) = 0，于是当 x (0,ln 2a)时，f(x) : 0.综合得a的取值范围为 一己-2 /原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达
5、法则处理如下：另解：(II)当x =0时，f (x) = 0,对任意实数a,均在f (x) _ 0 ;xx - 1当x 0时，f (x) _0等价于a乞一 2X 1令g x2xxx(x0), 则”g (x)xe 2e +x+ 2e3h x 二 xe -2 e x x2 ,则 h0 x = xe e 1 , h xi= xe，令x0，知h x在0,牡却上为增函数，h x h 0 =0 ;知h x在0,牡却上为增函数,g x 0 , g(x)在0, ?:上为增函数。由洛必达法则知，lim ex 0 -Txm+故am 1综上，知a的取值范围为-二，12 . ( 2011年全国新课标理)已知函数，曲线
6、y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 2y -3 = 0 。(I)求a、b的值；(n)如果当x 0,且x = 1时，f(x)In x k,求k的取值范围x 1 x原解：(I)X - 1:( In x)(x 1)2由于直线x ? 2y -3 =0的斜率为x21f(1)“一，且过点(1,1)，故1即2f(1八-,b=1,122In x 1(n)由(I)知 f(x)二-,所以X +1 xIn xkx 1x1(2ln x1 -x 2.(k-1)(x 2-1)考虑函数h(x) = 21 n x2 2设 k 乞。, 由 h(x)=k(x -(xT)2(x 0),则 h(x)=2(k -1
7、)(x2知，当时，h(x) : : : 01) 2x,h (x)递减。而h(1)=0 故当 x (0,1)时，h(x) 0 ,可得-A?(x) 01-xh (x) 0当 x? (1, + ：)时，h (x) 0,且x严1时，f (x)-(1 -xIn x k(ii )设 0k 1 当-(1 代)时，(k-1 )(x2+1 )+2x0故 h (x) 0,而 h( 1) =0 ,故当 x? (1 ,州寸,h( x) 0 ,可得2h(x) 0,而 h (1)1-x 22 21故当(1, + :)时，h (x) 0 ,可得2h (x) 0,与题设矛盾。1-x综合彳k的取值范围为(-0 , 0原解在处理第(心时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下: 另解：(II)由题设可得，当x .0,x时，kh 1 =0h x 在 0,上为增函数h 1 =0当 x (0,1)时，h x -1时,(n)设当x_0时，f xx,求a的取值范围.ax + 12、2008全国大纲2卷(理科)设函数f (x)二si nx2 cosx(I)求f (x)的单调区间;(n)如果对任何x 0,都有f (x) ax,求a的取值范围.
