《千禧年大奖难题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《千禧年大奖难题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、千禧年大奖难题-世界七大数学难题千禧年大奖难题-世界七大数学难题千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems),又称世界七大数 学难题，是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI)于2000年5月24日公布的数学难题。根据克雷数学 研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过 各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金 1,000,000美元。这些难题是呼应1900年德国数学家大卫希尔伯特 在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解 答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密
2、码学以及航天、通讯等 领域带来突破性进展。大奖题目“干僖难题”之一P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不 安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议 说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟， 你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这 样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否 有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费 要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人 告诉你，数13, 717,421可以写成两个较小的数的乘积
3、，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你他可以因子分解为3607乘上 3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们 编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证， 还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算 机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文考克(Stephe nCook )于 1971年陈述的。“千僖难题”之二霍奇（Hodge）猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。 基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维 数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如 此有用，使得它可以用
4、许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力 的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类 时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变 得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。 霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说， 称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性） 组合。“千僖难题”之三庞加莱（Poincare）猜想（已被证明）如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯 断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面， 如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那
5、 么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说， 苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加 莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面 （四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题 立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。黎曼（Riemann）假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如， 2,3,5,7，等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着 重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的 模式；然而，德国数学家黎曼（18261866 ）观察到，素数的频率紧 密相关于一个
6、精心构造的所谓黎曼蔡塔函数Z（s ）的性态。著名的黎 曼假设断言，方程Z（s）=O的所有有意义的解都在一条直线上。这点 已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意 义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。“千僖难题”之五杨米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基 本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子 物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。 基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所 履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧
7、洲粒子物理研 究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方 程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的 对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没 有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理 上和数学上两方面引进根本上的新观念。“千僖难题”之六纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流 跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论 是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解，来对 它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世
8、纪写下的，我们对它们的 理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解 开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。“千僖难题”之七贝赫(Birch )和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dyer )猜想数学家总是被诸如xT+yT二zT那样的代数方程的所有整数解 的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对 于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.VMatiyasevich )指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不 存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿 贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小
9、与一个有关的蔡塔函数Z（s ）在点s = 1附近的性态。特别是，这个有趣 的猜想认为，如果Z等于0,那么存在无限多个有理点（解），相反， 如果Z不等于0,那么只存在有限多个这样的点。已被证明的猜想 庞加莱猜想格里戈里佩雷尔曼于2002年在网络上发表了对庞加莱猜想的证 明。下面是庞加莱猜想的简述。首先我们要对庞加莱猜想的点作一个约定：庞加莱猜想中的点可 以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、 标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点而不能指我们说的 曲点和点内空间的点，不然就会产生矛盾。因为我们说的曲点，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及环 绕数收缩成的一点-如圈是绳一
10、致分布中间没有打结的封闭线；在这 种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套 圈有两次纽合，圈套圈的纽结点就包含了环绕数，把有一个以上环绕 数的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个曲点。即曲点最直观的数 学模型，是指包含环绕数的点。而我们说的点内空间的点，是指虚数 类虚拟空间内的点。如果把在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一 点，那么这个空间一定是一个三维的圆球称为庞加莱猜想正定理，那 么曲点和点内空间正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想： 在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其 中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆
11、球，而 可能是一个三维的环面我们称为庞加莱猜想逆定理。庞加莱猜想至 少有两个来源-一个是函数论，一个是代数拓扑学。即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而 使函数论的世纪大放异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变 换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及 初等分析中其它函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群或这 个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分 上，这个群完全是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情 况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克 莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不
12、变的函 数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱 因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函 数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非 稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定理也是自守函数论 的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的单值化定理，这等价 于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映像。其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而 普遍地探讨了几何学图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一 整套方法完全是庞加莱的发明创造-其中有流形的三角剖分、单纯复 合形、重心重分、对偶复合形、复合形的
13、关联系数矩阵等概念以及从 该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的 同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它 与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以 及欧拉多面体定理的推广-现称之为欧拉一庞加莱公式：x(D) = F- E+V这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x(D )和剖分 的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线 不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：球面：x=2 ；环面：x=0 ；(3)2个洞的曲面：x=-2 ；n个洞的曲面：x=-2(n-1 )。根据拓扑学的定理可知，任何定向的2维紧致曲面的欧
14、拉-庞加莱 示性数总是取2,0,-2,.,-2n,.中的一个，而且示性数相同的紧 致曲面同胚。因此，x就完全给出了定向的紧致曲面的拓扑分类。称为 s的亏格，即s的洞数。因此，可以求出：球面的亏格为0,环面的亏 格为1,这也是球面与环面不同伦的区别。亏格涉及事物的整体性质，20世纪以来，人们对整体性质研究得 非常多，但其实很多性质仍然是从子系统的研究得出的。微分几何和 拓扑学首先注意到，许多曲面，如球面，环面，椭球面，单叶双曲面， 双叶双曲面等，都是一个整个，除了它们各个小片所具有的几何性质 外，还有整个曲面所具有的几何性质，称为整体性质。比如说，球面 的任何一条测地线都是闭曲线（大圆），又如平
15、面上任何一条测地线 （直线）可以无限延伸，这就是整体性质。设U为2维欧氏空间的一 个矩形区域（ar（u，v） = （x（u，v），y（u，v），z（u，v）S是这个映照的像。球面、环面都是紧致的，而平面则是非紧致的。 般地，曲线可能穿过若干个坐标区域，那么在每一坐标区域中都可 有它自己的表达式，在每个区域中的部分，就可以计算出它的弧长。 假设D是S上的一个区域，它的边界是由互不相交的n条简单的分段 光滑闭曲线所组成；这些弧之间除连接点外没有交点，由拓扑学可知， 可以把D三角剖分，即把D分割成许多以3条曲线段为边界的曲面三 角形。如果所考察的曲面是定向的，设法线方向为大拇指方向，依右 手规则可以
16、定出每一三角形的边界的定向，这时内部边界的定向刚好 相互抵消。经过这样剖分后得出3个数：F是三角形的个数，E是边的 条数，V是顶点的个数，它们就是前面欧拉-庞加莱示性数中符号表 示。正是庞加莱提出的亏格表示的洞数，直指庞加莱猜想正定理和庞 加莱猜想逆定理；也直指超弦理论中构造的开弦和闭弦这两个不同的 庞加莱猜想版本。因为按庞加莱猜想在一个三维空间中，开弦曲线及 其开弦运动形成的2维膜上的每一条封闭的曲线，都能收缩成一点， 因此它们形成的空间是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球的； 相反，闭弦曲线及其闭弦运动形成的2维膜上的每一条封闭的曲线， 都不能收缩成一个庞加莱猜想点，因此它们形成的空间不是类似同伦、 同调、同胚于一个三维的圆球，而是类似我们说的曲点。、庞加莱猜想证明封顶，对解决超弦理论和圈量子引力理论的 统一带来了曙光。道理就在单孔收缩与双孔
