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1、v1.0可编辑可修改求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点， 难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将 所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种 求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知 识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c,使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设 法将直线c平移到直线c 处，使c 与a、b均相交， 则c夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段. 然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段 的长.例1已知正方体 ABCD-A1B1C1D1其棱长为a，求 AC和A1D间的距离.解析如图1
2、，由立体几何知识容易知道 BD1丄A1DBD1 AC.设BD与 AC的交点为 M DBD1中，将 BD1平移 到MN处，连结 AN 可知N为DD1的中点.设AN与 A1D交点为Q-在厶 AMNK 将MN平移到#v1.0可编辑可修改QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有 AQQN=21则AQAN=23而 MN=12BD1=32aPQMN=AQA所以 PQ32a=23 PQ=33a.故AC和 A1D的距离为33a.采用同样的方法可以 求出BD与 B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面a过直线b,且 a丄a于Q过O在a内作OPL b
3、于P贝U 0P的长为异 面直线a、b间的距离.例2如图2,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1其棱长 为a,求B1D1与 A1C之间的距离.解析 t B1DH A1C1? B1D1L CC1 二 B1DH平面 A1CC1于 O1.过O1做O1EL A1C于E,贝U O1E是异面直线B1D1 与A1C的距离. A1CCQ A1O1E 二 A1O1O1E=A1CCC1 O1E=A1O1CC1A1C=22aa3a=66即 B1D1与 A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作 平面a、B,使a B,那么a、B的距离就是 a、b 的距离.例3棱长为a的正方体A
4、BCD-A1B1C1D中, E、F 分别是BB1、AD的中点，求EF DB1的距离.解析如图3, G为AA1的中点.v GF/ AID GE/ A1B1 二平面 A1B1D/ 平面 EFG.v A1DL AD1 A1B1 丄 AD1,二 AD仏平面 A1B1D.同理，AD仏平面EFG二AD1被平面A1B1D与平 面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的故异面直线EF与DB1的距离为:MN=14AD 1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到 平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面 的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的 一条作一个平面，使这个平
5、面与其中的另外一条平行， 则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转 化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转 化思想，是求异面直线间距离的常用方法例4如图4,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1其棱长 为、N分别是正方形BCC1B、A1B1C1D的中心，求异 面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1 与DN一定相交在一个平面内，从而有AM/平面A1DC1 于是DN AM间的距离就是直线 AM到平面A1DC1的距 离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d,运用体积法VA-A1DC 仁VC1-A1ADB 卩 13dSA A1D
6、C1=13aS A1AD 所以 d=aSA1AD5A1DC1 容易求得 SAA1DC1=32a2 SAAA1D=12a2 所以 d=aa2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用 方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5,三棱锥A-BCD中,若AB和CD所 成的角为0,三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD则异面 直线 AB与 CD之间的距离 d=6VA-BCDABCDsi(n.图5图6公式2已知平面aQB =a,二面角a -a- B的平面角为0,如图6.直线b与平面a、B分别相 交于A B,点A、B到棱a的距离分别为m n.则异面 直线a和b之间的
7、距离d=mnsin 0 m2+n2-2mnco0 .以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同 学可以自己证明一下.例5如图7,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1其棱长 为是B1C1的中点，求AC与 BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为0,取A1D1的中点为N, 连结 AN,则 / CAN0 .不难求出 sin Z CAN=31O10 AC=2a BP=5a2 VP-ABC=13a12a2=16a3.d=6VP-ABCACBPsin =6X a362a5a231010=23a.即AC与 PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8,容易求出点B到 AC的距离为 m=2a2点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为0,用面积的射影公 式容易求得 cos 0 =13,从而sin 0 =mnsin0 m2+n2-2mnco0,代入已知数值得 d=23a,即AC与 PB 之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a,求不相邻的 两条棱AC SB的距离.（提示：过B做BC AC,连 接AC、SC、CC ,作SQL面和SB的距离就是三 棱锥 C - SBC 的高 h=22a）.（收稿日期：2015-07-09 ）#
