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1、凹多边形的几点思考学习四边形这节时，老师详细地介绍了凸四边形，并提及另一种多边形一一凹多边形。 这种几何图形深深得吸引了我，于是我利用课余时间，做了一些探索和总结，发现许多有 关凸四边形的定理和命题，在凹四边形上也同样适用: 一、顺次连接凹四边形的各边中点，得到的图形是平行四边形。（凸四边形的各边中点顺次连接，得到的图形是平行四边形。） 已知：如图11：四边形ADCB是任意凹四边形，点E，F，G，H分别是是AB,BC,CD,DA图1-1的中点，连接EF,FG,GH,HE.求证：四边形EHGF是平行四边形。证明：如图，连接AC.点E，F，G，H分别是是AB,BC,CD,DA的中点EF，HG分别是
2、 ABC与ACD的中位线.EF / HG.四边形EFGH是平行四边形。二、凹四边形的内角和为360 （凸四边形的内角和为360 ）。图 2-11已知：如图211:四边形ACBD是任意凹四边形。求证：ZA+ZABC+ZC+Z1=360证明：如图，连接BD.VZA+ZABD+ZADB=180 , ZC+ZCBD+ZCDB=180即：ZA+ZABC+ZC+Z1=360图 2-12AZA+ZABD+ZADB +ZC+ZCBD+ZCDB =360另一种证明方法如下：如图2-12连接ACZ DAB+ Z ABC+ Z BCD+ Z1=Z DAB+ZABC+ZBCD+ (360 -ZADC) = ZDAB+
3、 ZABC+ZBCD+(180 -ZADC)+ 180=(Z DAB+ ZDAC)+ZABC+(ZBCD+ZDCA)+ 180二ZCAB+ZABC+ZBCA+ 180 =180 +180 =360 综上所述：凹四边形的内角和为360三、凹四边形的外角和为360 （凸四边形的外角和为360 ）.四边形的内外角之和为180.凹四边形的外角=4X180 -360 =360经过更加深入的探究，我还发现：凹多边形和凸多边形之间也有许多的相似之 处，并且有较多的证明方法：一、凹n边形的对角线数为3）（凸n边形的对角线数为3）22二、凹n边形内角和为180 (n-2)（凸n边形的内角和为180 .(n-2)
4、图形边数对角线数4255612nn(n - 3)O由上述探讨可知当n =4时，该结论成立.现以凹五边形为例探究.(1)分割法已知:如图311，五边形ABCDE是任意凹五边形.求证：ZA+ZB+ZC+ZD +Z1=540证明：过点E作EFXBC，垂足为点F。连接AF, DF。 .ZFAB+ZABF+ZBFA=180 , ZFAE+ZAEF+ ZEFA=180 , ZDEF+ZEFD+ZFDE=180 , ZDCF+ZCFD+ZFDC=180 .ZEAB+ZB+ZC+ZCDE +Z1= (ZFAB+ZFAE)+ZB+ZC+(ZFDC+ZFDE) + ( ZAEF+ZDEF)=360 -ZEFB +
5、360 -ZEFC又 VZEFB+Z EFC= /BFC=180AZEAB+ZB+ZC+ZCDE +Z1=720 -180 =540=180X (5-2)由此证明可知.点F亦可以为边BC上的任意点.即所求证的命题正确。（2）轴对称法证明：如图3-12，过点A, D作直线L,以直线L为对称轴，作点E的对称点H.连接AH,DH.分别延长AE,DE 交 BC 于点 F,G.VZH=ZAED （轴对称的性质）ZFEG=ZAEDAZH=ZFEG又 VZ1 = Z2 = Z3+Z5 = Z4+Z6图 3-12AZEAB+ZB+ZC+ZCDE +Z1+Z2+ZFEG= ZEAB+ZB+ZC+(Z3 + Z5)+ZCDE +(Z4+Z6)+ZH= ZHAB+ZB+ZC+ZCDH+ZH=540 =180X (5-2)即所求证的命题正确。*注：若点A, BH共线，如图3-22.上述证明过程仍然成立.由此可推导得，凹边形内角和二180，（n一2）O综上所述,该结论成立.三、凹多边形外角和为360 （凸多边形的外角和为360 ） 任意多边形的内外角之和为180.凹多边形的外角二80 一（ - 2）-180 = 2 x180 = 360OOOO数学世界的领域，我们要去无限的探索，始终事实将会被我们所揭开。我相信， 在更加全面、深入的探究下，会发现更多凹多边形的奥秘。
