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1、第一次作业列出 Z 向平衡方程Z向应力：b、T、T z zx zyOb .Qt .T ,b + zdz、T + zxdx、T + 对dy z Ozzx Oxzy OyZ 向平衡方程：(b +dz )dxdy + (t +zxdx)dydz + (tzO zzxOxzyO+ zy dy )dxdzOydxdyz+ dydz +zx+ Zdxdydz = 0化简得：ObOtOt+Z=0z + 云 +OzOxO三、写出平面应力问题的几何方程和物理方程各项同性体几何方程：Qu = 一YQu=一 +x QxxyQyQvQv =Y=+y QyyzQzQw =YQu=+zQzxzQz=丄Q -U(C +Q
2、)1E L xy z 1Y = t xy G xy各项同性体物理方程： =丄C -U(C +C ) 1 yEL yzx = C -U(C +C ) 1 zE L zxy1Y = t yz G yz1Y = t xz G xz其中：E2(1+u)平面应力问题时：c = 0,t = 0,t = 0 yz xz则物理方程：C z =丄C -U(C ) 1xE L xy = c -u(c ) 1 或yE yx1Y = t xy G xy =丄C -U(C )1x E L xy=1C -U(c )1E yx2(1 + u )tYxyxy几何方程：xy迦Qx3vQyQuQvY =+-xyQyQx四、要使下
3、列应变分量成为一种可能的应变状态，试确定常数AO、A1、BO、B1、CO、C1、C2之间的关系。 = A + A (x2 + y2) + (x4 + y4)x 01 = B + B (x2 + y2) + (x4 + y4)y01Y = C + C xy(x2 + y2 + C ) xy012Qu由： = A + A (x2 + y2) + (x4 + y4)x Q x0 1得：1）u = A x + A 丄 x3 + A y 2 x + x5 + y 4 x + D (y)01 315由： yQv=B +B(x2+y2)+(x4+y4)01得：2）v = B y + B x 2 y + 1B
4、 y 3 + x 4 y + 1 y 5 + D (x)013 15由已知条件：Y xy =云 + Qx = C0 +3x2 + y 2 + C2）将（1）（2）代入上式，得：+= 2 A yx + 2 Bxy + 4 y 3 x + 4 x 3 y +Qy Qx11QD( y)QD = C + C xy (x 2 + y 2 + C )Qx012整理得： ,1 ,1 *、 8D(y) dD(x)小小，小、4yx(y 2 + x2 + A +一 B ) += C + C xy (x2 + y 2 + C )2 1 2 1dydx012最终：C = 41丄A +丄B = C、2 1 2 1 2第
5、二次作业2-5图2-15所示简支梁。上边界受均布荷载q作用。按材料力学方法算得:q(l 2 - x2) y = Ay - Bx2 y 2Jt =-旦(竺-) x = -Cx + By 2 x xyh3 82试问其是否满足平衡微分方程及应力边界条件并求如答案：.=-q(1-字-护y 2 h h 3解2J(l 2 - x 2) y=J2 y - 2Jx 2 y12q h2xyh38212q h212q y2x +xh38h32平衡微分方程QaQtx + 呼 + X = 0QxQyQaQt+ yx + Y = 0Qxx + 守 + X = 0 QxQyQaQt片 +yx + Y = 0QyQx -纟
6、 xy+12qxy = 0Jh 3Qa 12q h2 12q y 2A += 0Qyh3 8h3 2Qa12q h2 12q y2Qyh3 8h3 212q h212q y2=Jh38 h32y=12q h2 y 12q y3 + C = 3qy 2qy3 + C _hTTy h36 2hy hT12q h212q y33q2qy 3y + C = y + Ch3 8h3 62hh33q q+ + C = qy=-h 442C=-q2a y =寻+知-誉=輛y -詈-1)2-6试求图示结构的应变能和应变余能。EJ=常量。a=Ee32纯弯梁的应变能和余应变能纯弯梁的余应变能为U*=f 缶2 dV
7、=m 竺fEJh2 y2bdy h一 2-U*=1 f lML dx2 o EJ=2f320(fx)pEJl 丿 12dx + J 3 2 l3L1Fpx - Fp(x 一 3)JEJ(fx)pEJ1 fdx + J 3 2 -3EJbe + - JL2 2Ldx + JL2 2L3L2L 1Fx一F (x一-)一F (x一丁)p p 3 p 3 丿EJdxx+F )21卫pEJdx-F 2 f L2 p 2L32 EJ丿dx = f L C 2 一 2 Lx + L h = 2 2 EJ 2L3F2-p-x3一 Lx 2 + L x丿2L1 F 22 EJ 13 2719 3丿1 F 22
8、EJ l 8119L 45L 27 L 1 F 2p- + 81 81L32 EJ 1811 F 2 1 F 2 1 F 2 ( JU * =p1p1叶 I 2 EJ 81 2 EJ 27 2 EJ l 81 丿U*F 2 532EJ 81纯弯梁的应变能为U =f1 Es 2dV = 1 fLf222 o hV2=丄f-E f2 o _=2f-EJ(2oh2 y 2bdy ( h2 d2w)2 dxdx2f 2 Ey2()2dxdydz一 bdx 22d2w)2 dxdx2U 二 2 ” EJ（譽）2d 二 2 ” EJ（EJ）2d = 2 ” J2-9结构力学典型题解析及自测试题题13.4图
9、所示桁架承受结点荷载Fp作用。设各杆截面面积A相同，材料为非线弹性 二近”弹性E）,这一关系对于拉伸和压缩相同（压缩时取绝对值）。试用最小势能原理求桁架各杆内力。F.XI = 3严拉儿 Fvj压）F.v3 =压）!杆长杆变形1运auu2 x2 y2aux3au总势能U = 1EA（Al）2 -Fu2 ly yi=11 EA ( 1 血 迈、)w (u + u )2 + u 2 + u 22 l2 x 2/xy 丿1 EA ( 111)=- u 2 + u 2 + u u + u 2 + u 22 x y-F uyy2 l (2 迈5 U = 01 EA ( 12 丁 hr 忑dUduxdU-F
10、uyy+ 2u 二 0x丿、-Fy1 EA ( 11 cu + _u + 2u2 l 172 y 72 x y 丿duydU = 1 EA du 2 lxu 2 2uxxdU = duy1坠匕2V2u2 l x1 空(4 富 2u 8u )= /2a2=EA Aa =x、FlEA-paEAaEA一2)fl C2EAv2apC*：2)f l 迈EAEA2+Fl+FlEA2EA练习题根据微分体上所有力对y轴的力矩之和为零的平衡条件:M = 0： y-M dy + (M +xx6Mx dxdMdx)dy - M dx + (M + yx yxyxdydy)dx-(Q + QQxz dx)dxdy + Q dx dx - (Q +环 dy)dx dx + pdxdy dx = 0xzdxyz 2yzdy22略去高阶小量，简化后得:竺+竺-Q二0dxdyxz因此Mx为单位宽度的弯矩。hh Ez 2d 2 wd 2 wd 2 wd2W、M = J 2 g zdz = J 2(+v)dz = -D(+v)x -hx - h 1 -v 2dx2dy 2
