公理集合论

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1、1 公理集合论axiomatic set theory用形式化公理化方法研究集合论的一个学科。数理逻辑的主要分支之一。19世纪70年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20 世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第 一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号丘， 非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、 正则公理 。如果加上选择公理就构成 ZFC 系统

2、 。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出 序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中 都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如P.J.科恩于I960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法 已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、舞法的研究已经渗透到数学的各个分支。集合论公理系统(ZF1) 外延公理 一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。(ZF2)空集合存在公理

3、：即存在一集合S,它没有元素。(ZF3)无序对公理：也就是说，任给一集合x,存在第三个集合z,而z的元素恰好有两个，一个是x，一个是y(ZF4)并集公理：也就是说，任给一集合X,我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合(ZF5)幂集公理：也就是说，任意的集合x，P (x)也是一集合(ZF6)无限公理：也就是说，存在一集合X,它有无穷多元素(ZF7)替换公理：也就是说，对于任意的公式 A (x, y),对于任意的集合t,当x属于t时，都有y,使得A (x, y)成立的前提下，就一定存在一集合s,使得对于所有的x属于t,在集合s中都有一元素y,使A (x, y)成立。也 就是说，由A (

4、x, y)所定义的有序对的类的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。(ZF8) 基础公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现 x 属于 x 的情况。(AC) 选择公设对任意集 c 存在以 c 为定义域的选择函数 g,使得对 c 的每个非空元集 x. g(x) 属于 xZF 集合公理系统加上 AC 就成为 ZFC 公理系统注： ZF 为 Zermelo 及 Fraenkel公理化方法2编辑本段什么是公理化方法随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。公理化是一种数学方法。 最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中， 当时认为

5、“公理 （如两点之问可连一直线 ）是一 种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” （如三对应边相等的陌个三角形垒等 ）则是需要由公理出发来证明的 ,18 世纪 德国哲学家康德认为， 欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识， 19 世纪末，德国数学家希尔伯特 （David Hilbert） 在他的几何基础研究中系统地挺出 r 数学的公理化方法。他认为每一种数学理论部应以 “基本概念 公理定理” 的 模式来建立：这里的公理是作为理论出发点的科学假设，它们要求有完备性 （任何定理可由此导出 ），独立性 （去掉其中之 一有的定理就不能成立 ）和相容性（公理问是无矛盾的 ）,但公理本身也由人们作各

6、种解释。 20 世纪以来，整个数学几乎都 巳按希尔伯特的漠式得到公理化处理。编辑本段公理化方法的应用发展经济学中的公理化方法从30年代起就有了应用，但对经济学有决定性影响的则是德布鲁（GDebreu）的经典著作：价 值理论：经济均衡的一种公理化分析在这一公理化分析中的基本概念是：商品空问、价格体系，消费者和生产者。由 此又可导出需求、供给、可达状态、经济均衡等概念。然后，再对各个抵念作出明确的数学规定，即公理，这包括一些 最基本的前提假设。供求双方的相互作用通过价格机制来间接完成，最终价格使经济中对立的、变动的力量达到一种力量相当、相对静 止、不再变动的境界，实现了所有市场参与者的最大化和供求

7、相等的状态，印市场出清了。这是由公理出发证明的一般 均衡存在的定理。德布鲁以后，公理化方法已渗入到经济学的各个领域，它的优点首先在于能够使经济学中的“公理” 与“定理” 严格区分开来。侧如，认为完全竞争与认为不完全竞争就是陌条不同的 “公理”，它们导出的 “定理 ” 自然有所不同，但应该争 论的是“公理”，而不应是“定理”， “公理”上的分歧是观念问题 因此，一般均衡存在定理虽然是划分学派的重要标准，是 经济自由主义与国家干预主义的分界线，但是在经济学中， 对市场出清定理的分歧是源于公理上的分歧，集中体现 了两派在基本观念上的分歧。公理化方法的重要应用之一是利用形式逻辑建立学科理论知识的关系。

8、 关于形式逻辑在会计基本理论发展中的作用 , 利奥 A 施密特教授曾做过有益的探索。他提出，演绎逻辑是“通过显示讨论中的某一现象是一种公认判定的特定例证或 应用,从而形成结论的过程。公认判定在专业上称为大前提 ,特征事实的表述则称为小前提。 ”而且,他还尝试着列举了三个 会计方法中的大前提以及如何运用三段论式的演绎方法表述存货计价的方法。 他在研究中将演绎的方法引入会计学 ,具有 一定的学术价值。但其中仍存在一些不足 ：他仅仅看到在会计师的日常工作中的确存在着一些观念性的公认的前提,而他们所做出的判定又往往是基于某种前提的暗示 ,但是对于这种暗示的实质并没有加以揭示。而且 ,他没有具体解释这些

9、前 提在会计基本理论结构中的地位、作用以及理论本身发展所可能遵循的途径。他的观点还停留在对会计活动的直观感受 上,而尚未将其与公理学以及数理逻辑的研究成果相结合 ,上升为一种系统化的理性熟悉 ,因此也没能指出会计学演绎方法 的本质。编辑本段数学公理化方法在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的 公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立 成一个畤系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales）开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。 毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前 4世纪在处理不可通约量时

10、，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的 芝 诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作分析篇中，对公理方法作 了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用 于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作几何原本，标志着数学领域中公理化方法的 诞生。由于几何原本在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘,引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000 多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败

11、了。 19 世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前 人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了 非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著几何基础一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何 公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现 悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛 盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了 纯形式公理化方法。几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化,相对论公理化，数理

12、逻辑公理化,概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了 数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开 阔了前景。3编辑本段第五公设同平面内一条直线和另外两条直线相交， 若在直线同侧的两个内角之和小于 180，则这两条直线经无限延长后在这 一侧一定相交。第五公设又称为平行公设，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。长期以来，数学家们发现 第五公设 和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到 欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就 是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个

13、命题。因此，一些数学家提出， 第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就 是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于 “平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了 一个和欧式平行公理相矛盾的命题 ,用它来代替第五公设， 然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统， 展开一系 列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反

14、 证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后， 罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个 理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。编辑本段第五公设的等价公设在试图证明第五公设的正确性的过程中，不少数学家提出了与第五公设的等价公设，即这些公设在逻辑上与第五公 设互为充要条件，因此证明这些公设也等于证明了第五公设。在这些替代公设中，最著名的

15、有以下四个： 普罗克洛斯公理： 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，也必定与另一条平行线相交。 等距公设： 两条平行线之间距离处处相等。普莱费尔公设 ：经过已知直线外一点，可以作一条，而且只能作一条与已知直线平行的直线。 三角形公设： 三角形三个内角和等于 180 度。描述集合论4描述集合论(Descriptive set theory )是数学中数理逻辑、集合论的一个分支。在这一分支中，研究的对象是 波兰 空间中的“表现良好”的子集合。数学家们将子集合依照其在拓扑上定义的复杂程度分成 波莱尔集(Borel集)、解析集、 投射集等以及更细的分类，并且依照这些类别研究他们的结构以及性质。描述集

16、合论的起源可以上溯到 波莱尔(Borel)、贝尔(Baire )、勒贝格(Lebesegue)等人的工作。 以上这些内容通常又被称为 “经典描述集合论 ”，与之相对应的是所谓的 “能行描述集合论 ” (Effective descriptive set theory )。能行描述集合论结合了描述集合论和一般 递归论的方法，得到了一系列与经典描述集合论平行的结果。从中 得到的一些经典的定理，目前还没有找到不借助于递归论方法的证明。描述集合论的许多理论和观念与数学上的其它领域都有关连，包含数学分析、实分析、泛函分析、拓扑群论等等。5波兰空间5在数学中，波兰空间是指“可分可完备距离化空间”。具体说，就是一个这样的拓扑空间，它拥有一个