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1、浙江师范大学微分几何 考试卷(2005 2006 学年第 一 学期)考试形式 使用学生考试时间150 分钟出卷时间 2005 年 12月0日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题(每空 2 分，共 16 分 )1、 向量函数X二X(t)是定长的充要条件是.2、柱面X = F(u),G(u), v的第一基本形式为3、若曲面E和曲面工:X二x,y,2等距，则E的高斯曲率K=14、 坐标网是渐近线网的充要条件是。5、若曲面上的曲线厂既是渐近线又是曲率线，则厂是6、曲面 X (u, v) = b + v, u - v, uv)在 (u, v) = (2,1)的切平面方程为曲线
2、;法线方程为7、曲面上沿着一条非直线的曲线r，它的从切面与曲面的切平面重合,则曲线是曲面上曲线。二、是非题(每小题2分共10分) 存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 球面上每一条曲线都是曲率线。 曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。 高斯曲率不是内蕴量。1、234、() ) ) )5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线厂是圆柱螺线。三、综合题(1-8每小题8分，第 9小题10分，共74分)1、问是否存在曲面使得g 1, g 0, g cos2 u, 0 = cos2 u,0 = 0,0 = 1。为什么？11 12 22 11 12 222、3、求曲线X =h ,2 12,313、的
3、曲率k和挠率T。求曲线Y Y (s)的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。 求曲面Z : I P 2 du 1)2 + d (u 2)2 的高斯曲率K。求正螺面X - 1 cosu2,u 1 sinu2,au2 上测地线的方程。6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。7、设非直线曲线厂和另一条曲线厂*之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线厂的切线是厂*的主法线，证明厂是平面曲线。8、若两曲面E，E相交于定角，且交线厂是E的曲率线，则厂也是E的曲率1 2 1 2 线。9、证明：对曲面上的曲线有（1）若渐近曲线厂同时为测地曲线，则它必是直线；（2）若曲率线厂同时
4、为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学微分几何考试卷参考答案（2005 2006 学年第 一 学期）考试形式 使用学生考试时间150 分钟出卷时间 2005 年 12 月 20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。、填空题（每格 2 分共 16 分）1、X(t)- X(t),二 02、（F2（u）, + G2（u）,）du2 + dv23、K=04、L=N=05、平面曲线6、3 x y 2 z 4 = 0 ,7、测地二、是非题（每小题2分共10分） 1-5：错，对，错，错，对。三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、答：不存在（3 分）22因为 g 11
5、 二 h g 12 二 0, g22 二 C0S2 U L11 二 C0S2 U上12 二 0，L2 二 1 不满足科达齐方程(L22 ) ( L12 )枠 g 22)u L12-； g11 =0/ 22 U花 22 V g11 迢1g 225 分）左边=sin u(cos 2 u + cos2 u)丰 0一 I 112、解：因为X = y，12,313X, = t , 12 , X， = 0,1,2t I X，” = ,0,2 4 分）3、,I X , X X ”1 (t 4 + 4t 2 + 1)t k =3(t 4 + 12 + 1)22 分）(X, X ”, X,)(X , X X ,
6、)214 + 12 + 12 分）解：设曲线Y二Y（s） （s为弧长参数）的切线曲面为X = Y(s) + v(s)，贝U有=圧 + vkf， X = dvXss二-vk2厲 + (k + vk.)卩 + vkvf ,X = k0，st2 分）vvE=1+ v 2 k 2 ，F=1，G=12 分）L= - vkT , M=0，N=0k = 0, k12vk1 分）1 分）曲率线方程为dv 21 + V 2 k 2-vkT- dsdv10ds210=0，即 s=常数，或 v=-s+c （2 分）TH= - 2Vk4、解：因为为正交网，所以3 分）2 分）3 分）1 pp(匕)+ (匕) p2 p
7、 u p v1(In p)+ (In p)p 2uuvv5、解：因为 X = v cos u, v sin u, uE= v 2 +1, F = 0, G = 1由测地线方程为2 分）dv: E小 tan 0 du Gd01 疋 d In E 1 d In G du 2 G Qv2 du2 分）d0 _v 1dv v 2 +1 tan 0vv 2 + 1cos0 = ccot an0 =cI：v 2 + 1 c 2，则测地线方程为dvu = c J -V v 2 + 1 v2 +1 c24 分）6、证：因为是极小曲面，所以k + k = 0，为非平面，即有k =k丰01 2 1 2则Kv0,所
8、以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。设两族渐近曲线主方向的交角为0 ,0 ，则由欧拉公式有12| k-八 兀C兀tan 0 = 1= 1,0= ,0 =1,2 k14241 2两族渐近曲线正交7、设曲线r : X = X（s）（s为弧长参数）则r *为X * = X （s） + 九（s ）cc两边对 s 求导有X *, = （1 + X.）oc + 九kp（1）因为卩* =圧，上式两边点积0 *有1 +九-=0代入（1）即有X *,=九k0（2）再求导有X *,=（兀 k + 九k.） 0 + Xk （炖 +琢）（3）2 分）2 分）（3 分）（1 分）（1 分）（1 分）（2 分）（
9、1 分）X *, XX *” =九2k3+九2k2T&（4）（1 分）（4）再两边点积P *有九2k2T = 0由题意有T二0，即证。（2分）8、证：设丫， 丫的单位法向量为n ,n，则由题意有nn = c（1分）1 2 1 2 1 2两边微分得dn n + n dn = 0（ 1分）1 2 1 2由交线厂是丫的曲率线，则有dn =九dX112 1 2因为n丄dX，所以n dn - 02 1 2又因为n为单位法向量，即有n dn - 02 2 2九 dXn + n dn - 0（ 1 分）所以有 dn | n X n（2 分）212n 丄 dX ， n 丄 dX ，所以有 dX |n X n（
10、2 分）1 2 1 2即dn II dX，所以厂也是E的曲率线。（1分）229、（1）由题意沿厂有k - 0,k - 0（2分）ng又因为k2 - k2 + k2 - 0，即 k=0（2 分）ng所以厂为直线。（1分）（2）：由题意厂为测地线，则沿厂有n = （1分）又厂为曲率线，则沿厂的法线曲面是可展曲面，即有（田,n, n） - 0，（ 1 分）即有（d,仔,j） -0，因j k&+T0（1 分）代入有（d, ） - T G,吒）-T - 0即证明了厂是平面曲线（2分）考试类别 使用学生数理学院数学专业本科考试时间120分钟表 出卷时间2002 年 10月 7旦说明：考生应有将全部答案写在
11、答题纸上，否则作无效处理二、 填空题（30 分 ）1、 向量函数X二X（t）是定长的充要条件.2、光滑曲线厂:X二X（t）, tWR,若对任何的t有，则称厂为正则曲线。3、 空间曲线中，弧长、和是参数变换下的不变量。4、 曲线论的基本定理是。5、若曲线为贝特朗曲线，则曲率k和挠率e满足的条件为。6、若在P点有。二Pg，则称P点为。7、 若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定。8、 曲面为可展曲面的充要条件是曲面为、 和 。9、 坐标网是渐近线网的充要条件是。10、 若曲面上的曲线厂既是渐近线又是测地线，则厂是。11、 曲面X（u, v） = + v,u - v,uv）在
12、（u, v）二（2,1）的切平面方程为，法线方程为 。二、解答题1、g = 1,g = 0,g = e2u1,Q = e2u1,Q = 0,0= 1，这样的曲面是否存在？ （5 分）11 12 22 11 12 222、求正螺面X = h1 cos u2, u1 sin u2, au 2上的测地曲线的方程。（10分）f厂一厂3、若固定向量L与曲线丄的所有法面平行，证明丄是平面曲线。（7分）4、证明渐近曲线上的点的测地曲率的绝对值等于它的曲率。（8分）5、求曲线X = it -13,3t 2,3t +13）的曲率k和挠率e。（10分）6、求曲面 丫 ： I = P 2du1）2 + d （u 2
13、）2的高斯曲率 K。（10 分）7、求挠曲线Y = Y（s）的切线曲面的曲率线。（10分）8、若曲面S上有两族测地线交角为定角，则曲面Y为可展曲面。（10分）（20012002 学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业2000本科考试时间120分钟表出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理三、填空题（24 分 ）1、 向量函数X二X（t）是定向的充要条件是.2、 光滑曲线厂：X二X（t）, t eR,若对任何的t有，则称厂为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率t满足的条件特殊曲线曲率k和挠率t满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、若在P点有二pg，则称P点为。ijij5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。6、 若曲面为可展曲面的充要条件是曲面丫的高斯曲率K=。7、 坐标网是渐近线网的充要条件是。8、 若曲面上的曲线厂既是渐近线又是测地线，则厂是。9、 曲面X（u, v） = + v,u - v,uv
