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1、高考立体几何精髓-正方体一、 基础知识：11种展开图（二）用一个平面截正方体。 可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。 具体做法： 三角形过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。矩 形过两条相对的棱或一条棱。正方形平行于一个面五边形过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。六边形过六条棱上的点。正六边形过六条棱的中点。菱形过相对顶点。 梯形过相对两个面上平行不等长的线。二、 技巧应用 利用正方体构造反例判断命题的真假.【例】 已知a，b，c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，则bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a，则b与
2、相交；若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直.其中真命题的个数是（）. . . . 解： 构造如图所示的正方体.对选为a，为b，为c，显然a不平行于c，所以不正确；显然正确；对选B为a，平面为，为b，a与b不平行，所以不正确；对选为a，为b，过中点且垂直于的平面为，显然a、b都与平行，所以不正确；对所有平行于a、b的公垂线的直线（有无数条）都与a、b垂直，所以不正确；故选. 将复杂的点、线、面关系置于正方体中解题【例2】 是两条互相垂直的异面直线a，b的公垂线段，点是线段上除，外一动点，若点是a上不同于公垂线垂足的一点，点是b上不同于公垂线垂足的一点，则是（）. 锐角三角形 . 钝角三角
3、形. 直角三角形 . 以上均有可能解： 如图，把异面直线a，b，及公垂线段置于正方体中，则， （）0. 为钝角三角形，故选.【点评】 当点、线面关系比较复杂时，可以寻找一个载体（如正方体），将它们置于其中，这是解题的很好途径。 将正四面体补成正方体 例1 （2006年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 解析：根据题意折叠后的三棱锥PDCE为正四面体，且棱长为1。以此正四面体来构造正方体，使正四面体的各棱分别是正方体各面的
4、对角线，如图2。则正方体的棱长为，正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为。又正方体的外接球也为正四面体的外接球，所以外接球的半径为。 所以， 故选C。、将三棱锥补成正方体 例2 （2006年全国I卷）如图3，l1、l2是相互垂直的异面直线， MN是它们的公垂线段。点A、B在l1上，AM=MB=MN。 （I）证明ACNB； （II）若ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。 解析：（I）证明略。 （II）由（I）及ACB=60，可知NA、NB、NC两两垂直且相等，故可将三棱锥CABN补成正方体NASBCQPR，如图4所示。连结PN，由RNBC，知PNBC。同理，PNAC。 所以PN平
5、面ABC。设垂足为O，则OBN就是NB与平面ABC所成角。 设正方体棱长为1，则 由sinOBN，得cosOBN=、将三棱柱补成正方体 例3 （2006年全国II卷）如图5，在直三棱柱中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点。 （I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线； （II）设AA1=AC=，求二面角A1ADC1的大小。 解析：（1）证明略。 （2）由题设AA1=AC=，可知为正方形，ABC=90。 将棱柱补成正方体，如图6所示。易知所求二面角恰是二面角的一半。作正方体的截面。由图知，所以。 同理，。 于是是二面角的平面角的补角。而是正三角形，=60，故二面角为120，从而
6、二面角是60。. 将四棱柱体特殊化为正方体解题【例3】 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos=.解： 本题为填空题， 不妨设正四棱柱为一个正方体，而在正方体中与各个面所成角都相等的直线是体对角线，如图3，即图中是所求的.若令正方体棱长为，则，【点评】 用特殊化思想是解决本题的捷径. 、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体 例4 （2001年高考题）如图7，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90o，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。 （I）求四棱锥SABCD的体积； （II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。 解析：延长AD到E，使DE=AD，
7、以AE、AB、AS为棱构造正方体，如图8所示。则有：图8 （I） （II）延长CD、BA相交于F，连结SF，易知SF/AB。又可知AB面CBS，所以SF面SBC，故BSC为面SCD与面SBA所成的角。 在直角SBC中，SB= 从而tanBSC= 、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体 例5 （2002年高考题）如图9，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0a）。 （I）求MN的长； （II）当a为何值时，MN的长最小； （III）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。解析：（I）与（II）略。 （III）以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体如图10所示，面MNA与面MNB所成的角，即面ACE与面CFE所成的角的补角（因为面MNB/面CFE）。在正四面体ACEF中，易求相邻面所成的二面角的余弦为。 所以二面角AMNB的平面角为
