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1、 八下实数实数知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:。因此:1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;2、当a0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:。3、当a0时,也即a为负数时,它不存在平方根。例1.(1) 的平方是64,所以64的平方根是 ;(2) 的平方根是它本身。(3)若的平方根是2,则x= ;的平方根是 (4)当x 时,有意义。(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?这个正数是多少?知识点二、【算术平方根】: 1、如果一个正数x的平方等于a,即,那么
2、,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:。例2.(1)下列说法正确的是 ( )A1的立方根是; B; (C)、的平方根是; ( D)、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( )A、 B、 C、 D、(3)的算术平方根是 。(4)若有意义,则_。(5)已知ABC的三边分别是且满足,求c
3、的取值范围。(7)如果x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.(8)求下列各数的平方根和算术平方根.64; ; 0.0004; (25)2; 11. 1.44, 0,8, , 441, 196, 104(9)()2等于多少?()2等于多少?(10) ()2等于多少?(11)对于正数a,()2等于多少?我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1) =_,=_;(2) (2)=_,=_;(3) =_,=_;(4) (4)_,=_.知识点四、【立方根】: 1、如果x的立方等于a,那么,就称x是a的立方
4、根,或者三次方根。记做:,读作,3次根号a。注意:这里的3表示的是根指数。一般的,平方根可以省写根指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。2、平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。例3.(1)64的立方根是(2)若,则b等于( ) A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000(3)下列说法中:都是27的立方根,的立方根是2,。其中正确的有 ( )A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点五、【无理数】: 1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶
5、段,无理数的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;(2)开方开不尽的数,如:等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01(两个1之间依次多1个0)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:2、 有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。例4.(1)下列各数:3.141、0.33333、0.3030003000003(相邻两个3之间0的个
6、数逐次增加2)、其中是有理数的有;是无理数的有。(填序号)(2)有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有 ( )个A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、【实数】:1、有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.2、实数的性质:实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个
7、负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.(1)下列说法正确的是( );A、任何有理数均可用分数形式表示 ; B、数轴上的点与有理数一一对应 ;C、1和2之间的无理数只有 ; D、不带根号的数都是有理数。(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、(3)如右图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点对应的实数是和-1,则点C所对应的实数是(
8、)A. 1+ B. 2+ C. 2-1 D. 2+1(4)实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为( )A B. C . D.(5)比较大小(填“”或“”).3 , , , ,(6)将下列各数:,用“”连接起来;_。(7)若,且,则:= 。(8)计算: (9)已知:,求代数式的值。基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是( ) A.0.12 B. C.0 D.2.下列说法中正确的是( )A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数3.下列语句正确的是( )A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无
9、理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数4.在直角ABC中,C=90,AC=,BC=2,则AB为( )A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为( ) A.小数B.分数C.无理数 D.不能确定 6.的化简结果是( ) A.2 B.2 C.2或2 D.4 7.9的算术平方根是( ) A.3 B.3 C. D. 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中,正确的是( )A.B.=0.6 C.=13D.=610.72的算术平方根是( ) A. B.7 C. D.411.16的平方根是( ) A.4
10、 B.24 C. D.212.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是( )A.a+2 B.2 C.+2 D.a2+213.下列说法正确的是( )A.2是4的平方根 B.2是(2)2的算术平方根 C.(2)2的平方根是2 D.8的平方根是414.的平方根是( ) A.4 B.4 C.4 D.215.的值是( ) A.7 B.1 C.1 D.716.下列各数中没有平方根的数是( )A.(2)3 B.33 C.a0 D.(a2+1)17.等于( ) A.a B.a C.a D.以上答案都不对18.如果a(a0)的平方根是m,那么( )A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=m19.若正方形的
11、边长是a,面积为S,那么( )A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a= D.S= 二、填空题1.在0.351, ,4.969696, 6.751755175551, 0,5.2333, 5.411010010001中,无理数的个数有_.2._小数或_小数是有理数,_小数是无理数.3.x2=8,则x_分数,_整数,_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长_有理数;面积为4的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”) 5.的平方根是_; 6.()2的算术平方根是_; 7.一个正数的平方根是2a1与a+2,则a=_,这个正数是_; 8.的算术平方根是_; 9.92的算术平方根是_; 10.的值等于_,的平方根为_; 11.(4)2的平方根是_,算术平方根是_.三.判断题 1.0.01是0.1的平方根.( ) 2.52的平方根为5.( ) 3.0和负数没有平方根.( ) 4.因为的平方根是,所以=.( ) 5.正数的平方根有两个,它们是互为相反数.( )四、解答题 1.已知:在数,,3.1416,0,4