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1、WORD格式可以编辑完美 WORD 格式文科数列专题复习一、等差数列与等比数列1. 基本量的思想：常设首项、（公差） 比为基本量， 借助于消元思想及解方程组思想等。 转化为 “基本量”是解决问题的基本方法。2. 等差数列与等比数列的联系a1）若数列 an 是等差数列， 则数列 a 是等比数列， 公比为nda ，其中 a 是常数， d是 an 的公差。（a0 且 a1）；2）若数列 an 是等比数列， 且an 0，则数列 loga an 是等差数列， 公差为 loga q ，其中 a是常数且 a 0, a 1， q是 an 的公比。3）若 an 既是等差数列又是等比数列 , 则 an 是非零常数
2、数列。3. 等差与等比数列的比较等差数列 等比数列定义an 为A P an 1 an d(常数）an1 qa 为G P (常数）nan通 项公 式a = a1 +（n-1 ）d=ak +（n-k ）d=dn+a1 -dnn 1 nan a q a q1 kk求 和公 式snd2n(aa1n2n2(a1)d2na1)nn(n21)dsnna1a (111qqn)a11a qnq(q(q1)1)中 项公式A=a b 22G ab。推广： 2 an =an m an m2推广： an an m an m性质1若 m+n=p+q则am a a a 若 m+n=p+q，则 am an ap aq 。n
3、p q2若kn 成 A.P（其中 kn N ）则a kn若kn 成等比数列 （其中 kn N ），也为 A.P。则a 成等比数列。kn专业 知识分享1完美资料整理完美 WORD 格式3 sn ,s2n sn ,s3n s2n 成等差数列。 sn ,s2n sn,s3n s2n 成等比数列。4danna a a1 m nm n( )1 m nan n ，1qa1an m nq (m n)am4、典型例题分析【题型 1】 等差数列与等比数列的联系例 1 （文 16）已知 a n 是公差不为零的等差数列， a11，且 a1，a3，a9 成等比数列 .（）求数列 a n 的通项 ; （）求数列 2an
4、 的前 n 项和 S n.n.解：（）由题设知公差 d0，由 a11，a1，a3，a9 成等比数列得1 2d11 8d1 2d，解得 d1，d 0（舍去）， 故a n 的通项 an 1+（n 1）1 n.m ( ) 由（）知 2a =2n，由等比数列前 n 项和公式得nSm=2+2 2+23+ +22+23+ +2n= 2(1 2 ) 1 2=2 n+1-2.n+1-2.小结与拓展：数列aa 是等差数列，则数列 a 是等比数列，公比为nnda ，其中 a 是常数， d 是a 的公差。（a0 且 a1）.n【题型 2】 与“前 n 项和 Sn与通项 an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列
5、a n 的前三项与数列 b n 的前三项对应相同， 且 a12a22 3 22 a n 1a *都成立，数列 b n8n 对任意的 nN 1a *都成立，数列 bn1bn 是等差数列求数列 a n 与b n 的通项公式。2 n 1 *解： a1 2a22 a3 2 an8n(n N) 当 n 2 时， a1 2a22 3 2 n18(n 1)(n N2a n2a *) n 1a 4 n， 得 2 n8，求得 an2在 中令 n1，可得 a18241，4n *a n2 (n N) 由题意知 b18，b2 4， b3 2，b 2b1 4，b3b2 2，数列 b n1bn 的公差为 2( 4) 2，
6、b n1bn 4(n 1) 22n6，专业知识分享完美 WORD 格式法一 （ 迭代法）bnb1(b 2b1 )(b 3b2) (b n bn1) 8( 4) (2) (2n 8) n2 7n14(n N*) 法二 （ 累加法）即 bnbn 1 2n8，bn1bn22n10，b3b2 2，b2b1 4，b18，相加得 bn8( 4) ( 2) (2n 8)(n 1)( 42n8)82 n 27n14(n N*) 27n14(n N*) 小结与拓展： 1）在数列 a n 中，前 n 项和Sn 与通项 an 的关系为：a S (n 1)1 1an . 是重要考点； 2）韦达定理应引起重视； 3）迭
7、代法、S S (n 2,n N)n n 1累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例 3 （文） 在等比数列 an中， an 0 (n N 1a5 + 2a3a5 +a），公比 q (0,1) ，且 a2a8 25，a3 与 as 的等比中项为 2。（1）求数列 an的通项公式； （2）设bnlog 2 a n，数列 bn 的前 n 项和为 Sn 当S S1 21 2Snn最大时，求 n 的值。解：（1）因为 a1a5 + 2a 3a5 +a 2a825，所以，2a + 2a33a5 +2a 255又 an o， a3a55 又 a3 与 a5
8、 的等比中项为 2，所以， a3a5 4而 q （0,1 ），所以， a3a5，所以， a34，a5 1，1q ，a116，所以，2ann 11516 22n（2）bnlog 2 a n5n，所以， bn 1 bn 1，专业知识分享完美 WORD 格式所以， b n 是以 4 为首项，1 为公差的等差数列。所以，Snn(9 n)2,S 9 nnn 2所以，当 n 8 时，Snn0，当 n9 时，Snn0，n9 时，Snn 0，当 n8 或 9 时，S S1 21 2Snn最大。小结与拓展： 1）利用配方法、单调性法求数列的最值； 2）等差中项与等比中项。二、数列的前 n 项和4. 前 n 项和
9、公式 Sn的定义：Sn=a1+a2+ an。5. 数列求和的方法（ 1）（1）公式法： 1）等差数列求和公式； 2）等比数列求和公式； 3）可转化为等差、等比数列的数列； 4）常用公式 :kn1k11 2 3 n n(n 1) ；2nk1k22 2 2 2 11 2 3 n n(n 1)(2n 1)；6nk1k33 3 3 3 n(n 1) 21 2 3 n ；2n(2k 1)21 3 5 . (2n -1) n 。k 1（2）分组求和法： 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合， 使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（3）倒序相加法： 如果一个数列 a n
10、，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。（4）裂项相消法： 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于can an1其中 an 是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如： 1）1a an n1和1a an n1（其中a 等差）可裂项为：n1 1 1 1( )a a d a an n 1 n n 1；2）1 1a an n1d( a a )n 1 n。（根式在分母上时可专业知识分享完美 WORD 格式考虑利用分母有理化，因式相消 求和）
11、常见裂项公式 ：（1）1 1 1n(n 1) n n 1；（2）1 1 1 1( )n(n k) k n n k；（3）1 1 1 1 n(n 1)( n 1) 2 n(n 1) ( n 1)(n 2)；（4）n 1 1( n 1)! n! ( n 1)!（5）常见放缩公式：2 1 22( n n) 2( n n )1 1n 1 n n n n 1.6. 典型例题分析【题型 1】 公式法例 1 等比数列 a 的前项和 S2 p，则n2 2 2 2a1 a a an _.2 3解： 1）当 n=1 时， a1 2- p；2）当 n 2时，n n-1 n-1an S - S (2 - p)- (2 - p) 2 。n n-11-1因为数列 an 为等比数列，所以 a 2- p 2 1 p 11从而等比数列 a 为首项为 1，公比为 2 的等比数列。n故等比数列2 2a 为首项为 1，公比为 q 4n的等比数列。2 2 2 2a1 a a an2 3n1(1 - 4 ) 1 n (41- 4 3-1)小结与拓展： 1）等差数列求和公式； 2）等比数列求和公式； 3）可转化为等差、等比数列的数列； 4）常用公式 : （见知识点部分） 。5） 等比数列的性质： 若数列 an 为等比数列，则数列2a 及
