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1、最新北师大版数学精品教学资料第三章3.3第2课时 双曲线的简单性质一、选择题1下列曲线中离心率为的是()A1B1C1D1答案B解析双曲线的离心率e，得，只有B选项符合，故选B2双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()AmBm1Cm1Dm2答案C解析双曲线离心率e，所以m1，选C3已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A1B1C1D1答案A解析本题考查双曲线标准方程的求法由题意知，焦距为10，c5，又P(2,1)在双曲线的渐近线上，a2b，联立得a220，b25，故双曲线方程1，注意焦距为2c而不是c，双曲线的渐近线方程的求法4(2014山东理)已知ab
2、0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案A解析e，e，ee1()4，双曲线的渐近线方程为yx.5(2015天津理，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由点(2，)在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线y24x准线方程x上，所以c，由此可解得a2，b，所以双曲线方程为1，故选D6若双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，P为双曲线
3、上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是()Ae2B1e2CeDe答案B解析由题意，|PF1|AF1|，3aac，e2，1b，B1F1B260，B1F1O30.在B1OF1中，tan30，.1，.e2，e.三、解答题9已知双曲线1(a0，b0)过点A(，)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程解析双曲线1的两渐近线的方程为bxay0.点A到两渐近线的距离分别为d1，d2已知d1d2，故又A在双曲线上，则14b25a2a2b2代入，得3a2b24a24b2联立、解得b22，a24.故所求双曲线方程为1.10如图，F1、F2分别是双曲线C：1(a，b0)的左
4、、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，求C的离心率解析本题考查双曲线的几何性质F1(c,0)，B(0，b)k，那直线F1B方程为yxb，联立，得P点坐标(，)Q点坐标为(，)，中点N的坐标为(，)，MN的直线方程为y(x)令y0，x，又由|MF2|F1F2|知3Ca22b2，1e2.e.一、选择题1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()AB4C4D答案A解析双曲线方程化为标准形式：y21，则有：a21，b2，由题设条件知，2，m.2已知双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直
5、，则这个双曲线的离心率是()ABCD答案D解析由2xy10，知此直线的斜率k12，则给定的双曲线的一条渐近线的斜率为k2.而双曲线的一条渐近线为yx，则k，e，故选D3已知双曲线1，过其右焦点F的直线交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为()ABCD答案B解析依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0)，选B4已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则等于()A12B2C0D4答案C解析由渐近线方程yx，得b，把点P(，y0)代入1中，得y01.不妨取P(，1)
6、，F1(2,0)，F2(2,0)，(2，1)(2，1)3410.二、填空题5若双曲线1(b0)的渐近线方程为yx，则b等于_答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线方程为yx，故b1.6已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_答案(1，1)解析考查双曲线的性质不妨设P为双曲线右支上一点，由正弦定理可得，e，故e1，而PF2ca，即e1，e1，1e1.三、解答题7已知等轴双曲线x2y2a2及其上一点P，求证：(1)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方；(2)过P作两渐近线的垂线，构成的
7、矩形面积为定值证明(1)设P(x0，y0)，则xya2，又F1(a,0)、F2(a,0)，|PF1|PF2|x0a|x0a|2xa2|xy|PO|2.(2)设垂足分别为Q、R，则由点到直线距离公式知|PQ|，|PR|，SPQOR|PQ|PR|xy|a2(定值)总结反思证定值问题亦可从特殊值出发找出定值，然后再进行论证8在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2y21.(1)F是C的左焦点，M是C右支上一点若|MF|2，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求
8、证：OPOQ.解析(1)双曲线C：y21，左焦点F(，0)设M(x，y)，则|MF|2(x)2y2(x)2，由M点是右支上一点，知x，所以|MF|x2，解得x，所以M(，)(2)左顶点A(，0)，渐近线方程：yx.过点A与渐近线yx平行的直线方程为：y(x)，即yx1.解方程组得所求平行四边形的面积为S|OA|y|.(3)设直线PQ的方程是ykxb，因直线PQ与已知圆相切，故1，即b2k21(*)由得(2k2)x22kbxb210.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则又y1y2(kx1b)(kx2b)，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b2.由(*)知，0，所以OPOQ.
