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1、案例分析与教师发展陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编: 710062电话: 029-85308872 13609297766E-mail：zrluosnnueducn主题：建议通过案例分析来促进教师的发展教师发展的途径很多，每个教师的发展都会有自己的个性化轨迹，切入点也各有不同：有的在职业激情中学习，有的在教学实践中研究，有的在案例分析中前进，有的在反思提炼中突破，有的在互动交流中提升，有的在论文写作中发展我根据自己的体会建议把案例分析作为促进教师发展的一个突破口： 1 案例分析的活动感受我将用分析案例的方式来说明案例分析，可以认为是学习“案例分析”相关概念和做法的情境创设1-1 案例的呈现（自
2、行车问题）例1-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？（请用代数或算术等多种方法求解，求解后想想如何让学生也学会解）如果你不能求解，没关系，请先做第2题例1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前半段、乙工程队干半后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？思考练习1分
3、钟）如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：例1-3 一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你能求解第3题，请返回做第2、第1题；如果你不能求解第3题，请看第4题 例1-4 一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 这是标准的工程问题了你最终至少要用两个以上的解法完成第1题再想一想有什么体会1-2 案例的分析案例分析1：关于解法让我们从新开始，缺什么就设什么，有解法1：（
4、方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组） 两式相加，得 则 （） （这是2009年初中数学联赛的参考答案）作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解题”这只不过是新的开始反思分析反思1：当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧特别是，这个解法对“用字母表示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表
5、现出解题的艺术但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和，学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？首先，既然都只有辅助的作用，而、式的等量关系也被更实质性的式代替了，那么，我们能不能一开始就抓住式这个更本质的结构呢？事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的，就是说，若设一对新轮胎可走，则一对轮胎在前轮走了，在后轮也走了，有（可以不列方程组，列方程就行了） 解法2：（方程解法，去掉）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的
6、轮胎每行使1的磨损量为又设一对新轮胎可走，则一对轮胎分别在前后轮各走了，有 则 （） 说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两条方程相加、“整体”得出式了反思2：这个解法中只有辅助作用，能不能也去掉，怎么去？另外，由及中的运算式，我们看到了一种结构工程问题（这正是上述教学设计的一个基本考虑），我们能不能一开始就抓住这个本质结构呢？有解法3：（算术解法，用1代替）设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在
7、后轮的轮胎每行驶1的磨损量为，进而，每1一对轮胎的磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶”（）说明2：这个题型小学说是“工程问题”，到中学可以说是“调和平均”（高中）或“反比例函数模式”（初中，参见案例分析3）反思3： 解法3是在、中取（这是小学的惯例），只能取1吗？由后面的运算知：取5000与3000的最小公倍数更方便有解法4：（技巧解法）假设自行车行驶了15000，则前轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶（） 说明3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理”由这个解法可知，前、后轮的磨损有3：5的比例关系，从而可以改写为解法5：（
8、按比例分配）假设自行车已走了3000，后轮磨完，则一对轮胎只剩下前轮的2000磨损量；接下来按3：5的比例分配，前轮会磨掉2000的，由知，一对轮胎可走3000+750=3750（）反思4：解法1由目标牵引，进行了、“两式相加”，而由两式相减呢，立即可得，就是说，若一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程这个实事有明显的几何意义：方程组、中的两条不平行直线（或说两个互为反函数的图像）关于对角线对称，其交点在对角线上，有解法6：（创设解法情景）设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交
9、换的装卸当自行车行驶到时，磨掉了一半的磨损量（正好等于一个轮胎的磨损量），有（如图1）：前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废于是 一个新轮胎的总磨损量前进的磨损量交换前后轮返程的磨损量， 有 ， （这就是方程） 得 图1不管题目还会有多少解法，我们已经有了三类解法：方程解法、算术解法、技巧解法这可以认为是反思解法1的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”案例分析2：关于教学设计的意图这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学是解题活动的教学，当中有四个基本的考虑
10、（1）解题化归的教学设计：如果你不能求解第1题，请先做第2题；，如果你也不能求解第3题，请先做第4题，一路转化为基本题型这就是化归：把一个未解决或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题（2）揭示问题的深层结构：自行车问题有工程问题的深层结构可列表说明如下：例1-1自行车问题例1-2工程问题一对轮胎的磨损（感觉磨损有破坏性）一件工程（感觉工程有建设性）磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成一件工程）轮胎有两个 工程有两段（甲乙轮胎对应前后两段工程）甲、乙轮胎磨损量相等前、后两段工程量相等轮胎放在前面位置行驶5000报废甲工程队干前段5000小时完成轮胎放在后面位置行驶3000报废乙工程队干后段
11、3000小时完成如果行驶一定路程后，交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废（交换前、后轮胎好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”？）如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工（甲、乙两工程队交换不交换是非实质的，使前、后两段同时完工即可）这辆车将能行驶多少？整个工程几小时完成？ 可见，“自行车问题”与“工程问题”有相同的结构！这时，是从“工程问题”的角度重新理解题意，体会“条件是什么、结论是什么”的最好机会甲乙轮胎对应前后两段工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队（如图2，轮胎是工程、位置是工程队、磨
12、损是干工程）于是，从“工程问题”的观点看例1-1，可以认为有两个条件：其一是磨完一个新轮胎，自行车的前轮位置需走5000（相当于完成工程前半段甲工程队需5000小时），其二是磨完一个新轮胎，自行车的后轮位置需走3000（相当于完成工程后半段乙工程队需3000小时完成）；结论是：求自行车的前、后轮一起磨完两个新轮胎需走多少（相当于甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成） 图2（3）沟通一题多解的内在联系从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法，我们说三类解法不是各别孤立的由（或）式有（）这是方程解法的结果，约去（或说令）便是工程解法，而取，就是技巧解法所以，三类解法是可以沟通的也惟有沟
13、通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构（4）呈现解题分析的两个关键环节解题思路的探求和解题过程的反思解题思路的探求是把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个认知过程，如找出解法1）解题过程的反思是继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程，如找出解法2至解法6）案例分析3：工程问题的深层提炼 题目 完成一件工程，甲单独干需要2天
14、，乙单独干需要3天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题”，其基本关系是： 工作效率工作时间=工程总量（定值）对这个基本关系作抽象，有 单位量单位数=总量（定值） 再作形式化抽象，得 （定值）可见，“工程问题”的本质是一个反比例函数模式：（1）一件工程，对应着存在一个反比例函数关系这是反映题型特征的基本关系（对应工作效率，对应工作时间，对应定值工程总量）（2）甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，对应着在反比例函数中因变量取，（3）甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值： 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数（工程总量）和自变量，（每个工程队的工作效率），也能求出函数值（两个工程队一齐干的工作时间）（4）更一般地，“工程问题”的反比例函数模式是：对反比例函数，给出函数值，求其求解步骤是：首先将表示为，然后代入所求式 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数和自变量，也能求出函数值（5）如果把工程平分为段，个工程队干每一段分别需天，则个工程队一起干需天完成有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决如例1-5 （某地中考题）某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共
