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1、立体几何问题的题型与方法一.复习目标：1. 在掌握直线与平面的位置关系 （包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置 关系）的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据（定义、公理和定理）、判定方法及有关性 质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并 探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用.2在掌握空间角（两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角）概念的基础上，掌握它们的求法 （其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通 过计算求出它们的大小）；在解决
2、有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面 的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线（面）和垂直线（面）的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力.3通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用 到解题过程中.通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力.4在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质.使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何 问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和
3、计算能力.5. 使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补 形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力.二考试要求：（1） 掌握平面的基本性质， 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画 出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。（2） 了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。（3） 了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，
4、掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。（4） 了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念， 掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。（5）会用反证法证明简单的问题。（6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（8 ）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（9） 了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（10） 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。三.教学过程：（I）基础知识详析
5、高考立体几何试题一般共有 4道（选择、填空题3道,解答题1道）,共计总分27分左右, 考查的知识点在 20个以内.选择填空题考核立几中的计算型问题 ，而解答题着重考查立几 中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着 多一点思考，少一点计算”的发展从历年的考题变化看，以多面 体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题1.有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大 量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等 ）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习
6、中，首先应从解决 平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律一一充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想， 以提高逻辑思维能力和空间想象能力.2. 判定两个平面平行的方法：（1 ）根据定义一一证明两平面没有公共点；（2）判定定理一一证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。3两个平面平行的主要性质：由定义知： 两平行平面没有公共点”。由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面
7、同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。夹在两个平行平面间的平行线段相等。经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质、在课文中虽未直接列为性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。4空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射 影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角 等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决.空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定 量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取
8、值范围，如两异面直线所成的角匪（0,，直线与平面所成的角茨0/ ，二面角的大小，可用它们的平面角来2 1 2度量，其平面角（0, n.对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角: I-：的平面角（记作）通常有以下几种方法：（1）根据定义
9、；（2）过棱I上任一点 O作棱I的垂面，设 n：- = OA, n-= OB,则/ AOB =d（图1）；（3）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面 1的垂线AB（垂足为B）,或棱I的垂线AC（垂足为C），连结AC,则/ ACB =二或/ ACB =二一丸图2）；设A为平面：外任一点，AB丄:,垂足为B, AC丄-,垂足为C,则/ BAC= 域/ BAC =二2 图 3）；（5）利用面积射影定理，设平面 ：内的平面图形F的面积为S, F在平面1内的射影图形的面积为S :则cos日=SS5空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给
10、出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离.求距离的一般方法和步骤是： 一作一一作出表示距离的线段； 二证一一证明它就是所要 求的距离；三算 一一计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离.6. 棱柱的概念和性质理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确 棱柱 直棱柱正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握平行六面体”平行六面体上方体亠四棱柱正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质
11、。关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与直线、平面、简单几何体第一部 分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等. 从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点.多面体与旋转体的体积问题是
12、直线、平面、简单几何体课程当中相对独立的课题体积和面积、长度一样，都是度量问题常用分割与补形”，算出了这些几何体的体积.7. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为 V，面数F,棱数E,那么V+F-E = 2.计算棱数E常见方法：E = V+F-2 ;（2）E =各面多边形边数和的一半；（3）E =顶点数与共顶点棱数积的一半。&经纬度及球面距离根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度賓某地的纬度是一个线面角的度数，设球 0的地轴为NS,圆0是0纬线，半圆NAS 是?0经线，若某地P是在东 经120,北纬40我们可以作出过 P的经线NPS交赤道于B,过P的纬线圈圆交NAS 于A ,那么则
13、应有：/ AOiP=120。（二面角的平面角），/POB=40 （线面角）。两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的总因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。C线段AP的长/ AOP的弧度数大圆劣弧AP的长9.球的表面积及体积公式一 2S球表=4 nRV球=4球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小曲边三角形”;以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥， 所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变
14、小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积，小三棱锥高变成球半径由于第n个小三棱锥的体积=丄Snhn （ Sn为3该小三棱锥的底面积，hn为小三棱锥高），所以 V球=-S球面R= - 4 nR R= nR.333在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R,而在实际问题中常给出球的外径（直径）.球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关 系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。10. 主要题型：以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。利用欧拉公式求解多面体顶点个数、面数、棱数。求球的体积、表面积和球面距离
15、。解题方法：求球面距离一般作出相应的大圆，转化 为平面图形求解。11. 注意事项须明确直线、平面、简单几何体中所述的两个平面是指两个不重合的平面。与直线与直线平行”、直线与平面平行”的概念一样 平面与平面平行”是 指 二平面没有公共点”。由此可知，空间两个几何元素(点、直线、平面称为空间三个几何 元素)间 没有公共点”时，它们间的关系均称为 互相平行”。要善于运用平面与平面平行的 定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。注意两个平行平面的画法一一直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平行 四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即将 平面口平行于平面B”，记为 “ / 0”。空间两个平面的位置关系有且只有两平面平行”和 两平面相交”两种关系。在明确 两个平行平面的公垂线 ”、两个平行平面的公垂线段 ”、两个平行平
