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1、（43）平面法向量的求法及其应用嵩明县一中吴学伟引言：本节课介绍平面法向量的三种求法，并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性，特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。一、平面的法向量1、定义：如果a,那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法r方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n（x,y,1）或vr
2、rrrn（x,1,z）,或n（1,y,z）,在平面内任找两个不共线的向量a,b。由n，得rrrrrna0且nb0,由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。方法二：任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。AxByCzD0（A,B,C不同时为0）,称为平面的一般方程。其法向量n（A,B,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，xyz则平面万程为：一工一1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的abc法向量。方法三（外积法）：设胃方为空间中两个不平行的非零向量，其
3、外积ab为一长度等于|a|b|sin,（8为不，两者交角，且0），而与厘了皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由d的方向转为百的方例1、,大拇指所指的方向规定为(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:a1、二阶行列式：M已知，a (2,1,0),badcb；1,2,1),a b ba。方向，的试求（1） ： a b;（2）： b a.Key: (1) ab (1, 2,5);(2)b a (1,2,5)例2、如图1-1，在棱长为2的正方体 ABCD AB1clD1中,r求平面AEF的一个法向量 n。key:法向量n平面法向量的应用1、求空间角（1）、求线面角：如图2-1
4、,设n是平面 的法向量，AB是平面的一条斜线，A所成的角为:,则AB与平面图 2-1-1:n,ABn AB 一arccos2|n| |AB| cosn,AB |图 2-1-2:n, AB 2n AB arccos|n| |AB|2J（2）、求面面角的平面角为:设向量m, n分别是平面的法向量，则二面角图2-3m, nm n arccos|m| |n|(图 2-2);m, narccos m n(图 2-3)|m| |n|两个平面的法向量方向选取合适，可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的
5、方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离(1)、异面直线之间距离：方法指导：如图2-4,作直线a、b的方向向量a、b,a2-4b间的距离为AnBMA2-5n平面的法向量为p到为平面nA2-6ndaBA之间的距离2-7maar的法向量。求向量AB在n上的射影d方法指导：如图2-7，两平行平面3、证明r一n是平面的法向重AOna,nuuurABn-i-|n|Ba则异面直线a|n|(2)、点到平面的距离：方法指导：如图2-5，若点B为平面”外一点A,Bb,A
6、a,Bb的距离公式为d1AB?n1d|AB?n|,|AB?n|dJ!，其中A,B|n|B,作向量AB；|n|(3)、直线与平面间的距离：方法指导：如图2-6，直线a与平面(1)、证明线面垂直：在图2-8求a、b的法向量n,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;中，m向是平面的法向量,直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线(2)、证明线面平行：在图2-9中，m向是平面的法向量,2-8的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直(m?a0)。(3)、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量,平面的法向量垂直(m?n0)(4)、证明面面平行：在图2-11中，m向是平面的法向量,
7、面的法向量，证明两平面的法向量共线(mn)。n是平n是平面的法向量，证明两MB图 3-1 C三、高考真题新解1、(2005全国I,18)(本大题满分12分)AB / DC已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,1DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=12M是PB的中点.(I)证明：面PADXWPCD;(n)求AC与PB所成的角；(出)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.解:以A点为原点，以分别以如图所示.AD,AB,AP为x轴,y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz(I).AP(0,0,1)AD(1,0,0),设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0)又D
8、C(0,1,0),DP(1,0,1),设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)n,即平面pad平面PCD。(II).AC(1,1,0)PB(0,2,1)AC,PBAC?PBarccos|AC|PB|10arccos5(III).CM,“1、一(1,0,2),CA(1,1,0),设平在AMC的法向量为mCM-11CA(1,2，1).又CB1(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(-,2m,n_m?n_,2、arccosarccos().|m|n|3面AMC，一2一与面BMC所成二面角的大小为arccos(3).或arccos23-22、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满
9、分12分)如图3-2,在长方体ABCD-ABGD中，已知AB=AA=a,BC=.2a,M是AD的中点。(I)求证：AD/平面ABQ(n)求证：平面AMCL平面ABD;(出)求点A到平面AMC勺距离。D-xyz如图所示.解：以D点为原点，分别以DA,DC,DD为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系(I) .BC(J2a,0,0),BA1(0,a,a)，设平面AiBC的法向量为nBCBAi(0,2a2,2a2)又AD(.2a,0,0),n?AD0,ADn,即ad平面AiBC.c22(II) .MC(a,0,a),MAi(a,a,0)，设平面AMC的法向量为22又 BD1( , 2a, a, a)m
10、MCMAiBAi(0,a,a)，设平面ABD的法向量为nBD1BA1(0,.2a2,.2a2),m?n0,mn,即平面AiMC平面A1BD1.(III).设点A到平面AiMC的距离为d,-2o2，mMCMAi(a,-a,-a)是平面AiMC的法向量,22又MA(a,0,0),a点到平面AiMC的距离为：d|m?MA|1a.2|m|2四、五、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件，相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(化为向量问题)(2)、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(进行向量运算)(3)、把向量的运算结果翻译”成相应的几何意义。(回到图形问题)
