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1、与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰QQ 1519819521.问题的引入:在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42,有这样一个问题如圈人管遭上倍见一金果站*分期商A* B 两蜒供購站的什么处方.你可减在f上找几*点试一试総更现If么规律？(3)B II-X S在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直 线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对 这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌
2、握了下面列举的 题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。.数学模型:1. 如图，直线I和I的异侧两点 A B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。2. 如图，直线I和I的同侧两点 A B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。3.如图，点P是/ MON内的一点，分别在 OM ON上作点A,Bo为方便归类，将以上三种情况统称为两边之和大于第三边型”4.如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在OM ON上作点A,B。使四边形PAQB勺周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是/ MON7卜
3、的一点，在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最 小6.如图，点A是/ MON内的一点，在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和 最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三. 两边之和大于第三边型(一) 直线类1如图，A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为 AC= 10千米，BD= 30千米,且CD= 30千米，现在要在河边建一自来水厂， 向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3万，请你在河流CD上选择水厂的位置 M使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?作点B关于直线 CD的对称点 B，连接AB，交CD 于点M则AM+BM = A
4、M+BM = AB，水厂建在 M点时，费用 最小如右图，在直角厶 ABE中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB = 30所以：AB = 50总费用为：50X 3 = 150万*EB2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B、D作AB丄BD ECLBD,连接AC EG 已知 AB=5 DE=1 BD=8 设 CD=x.(1) 用含x的代数式表示AC+ CE的长；(2) 请问点C满足什么条件时，AC+ CE的值最小？(3) 根据 中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +.(12-xf2+9的最小值(1)AC = (8-x) 2 + 25 ,CE二x2 + 1则 AC+CE =
5、 (8-x) 2 + 25 +x2 + 1A、C、E三点共线时AC+C撮小连接AE,交BD于点C,则AE就是AC+CE勺最小值 最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 AEF 中,AF = 5 EF = 12根据勾股定理AE = 133. 求代数式.X + 1 +(4-x)+ 4(0 x 4)的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值 在直角 AEF中AF = 3 EF = 4贝U AE = 5所以，这个代数式的最小值是5（二）角类4. 两条公路OA 0B相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何
6、处，可使运油车从油库出发，经 过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短分析 这是一个实际问题， 我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，0A与0B相交，点P在/ AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线0A和 0B的对称点 Pi、P2 ,连结P1P2分别交OA 0B于C、D, C D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的 三边关系进行说明解：分别做点P关于直线0A和0B的对称点P1、比，连结P1P2分别交0A 0B于C、D,则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角
7、形的三边关系， 可知在C D两点建加油 站运油车所走的路程最短点评：在这里没有详细说明为什么在 C、D两点建 加油站运油车所走的路程最短， 请同学们思考弄明白。5. 如图/ A0B = 45 , P 是/ A0B内一点，P0 = 10 ,P分别是OA 0B上的动点，求 PQF周长的最小值. 分别作点P关于OA 0B的对称点Pi、P2,连接P1P2,交 OA 0B于点 Q, R 连接 OP，0P,贝U OP = OPi = OP 2 = 10且/ PiOR = 90 由勾股定理得P1P2 = 102（三）三角形类6. 如图，等腰Rt ABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点,的最小值为即在AC
8、上作一点 P,使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B，连接BE,交AC于点 P,贝U BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值在直角 BEF 中，EF = 1 , BF = 3根据勾股定理，BE =10P是AC边上的一动点，贝U PB+PE7. 如图，在 ABC中，AC= BC= 2,Z ACB= 90 , D是BC边的中点，E是AB边上一动点,则EC+ ED的最小值为。即是在直线AB上作一点E,使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C，连接DC交AB于点E,则 线段DC的长就是EC+ED勺最小值。在直角 DBC中DB=1, BC=2根据勾股定理可得，DC=5
9、& 等腰 ABC中，/ A = 20 , AB = AC = 20 , M N分别 是AB AC上的点，求BN+MN+M的最小值分别作点C、B关于AB AC的对称点C B,连接C B交 AB AC于点 M N,贝U BN+MN+MCB N+MN+MC = B C,BN+MN+M的最小值就是 B C的值/ BAC = / BAC / CAB = / CAB/ B AC = 60 / AC = AC , AB = AB , AC = AB AC = AB AB C是等边三角形 B C = 209. 如图，在等边厶 ABC中，AB = 6, AD丄BC E是AC上的一点， M是AD上的一点，且 AE
10、 =2,求EM+EC的最小值因为点C关于直线AD的对称点是点B,所以连接BE,交AD于点M贝卩ME+M最小, 过点B作BHL AC于点H,则 EH = AH - AE = 3- 2 = 1, BH = BC - CH 2 =62 - 3 2 = 33在直角 BHE中, BE = BH + HE2 =(33)2 + 1 2 = 27（四）正方形类10. 如图，正方形 ABCD勺边长为8, M在DC上，且DM= 2, N是AC上的一动点，DW MN的最小值为。即在直线AC上求一点N,使DN+Mf最小 故作点D关于AC的对称点B,连接BM 交 AC于点 N。贝U DNMN= BN+MN=BM 线段E
11、M的长就是 DNM N的最小值 在直角 ABCM 中，CM=6,BC=8, 则BM=10故DN+MN的最小值是1011. 如图所示，正方形 ABCD勺面积为12, ABE是等边三角形，点对角线AC上有一点P,使PD PE的和最小，则这个最小值为（A. 2 3B. 2 6C. 3D. 6即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点 B,连接BE交AC于点P,则BE = PB+PE = PD+PE, BE的长就是 PD+PE勺最小值BE = AB = 23)12. 在边长为2 cm的正方形 ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线 AC上一动点，连接 PB PQ则厶PB
12、Q周长的最小值为cm （结果不取近似值）即在AC上求一点P,使PB+PQ勺值最小E在正方形ABCD内，在BQC因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接 DQ与AC的交点P就 是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角 CDC中，CQ = 1 , CD = 2根据勾股定理，得，DQ =513.如图，四边形 ABCD是正方形，AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值；连接AE,交BD于点P,贝U AE就是PE+PC的最小值 在直角 ABE中，求得 AE的长为5 5（五）矩形类14.如图，若四边形 ABCD是矩形，
13、AB = 10cm , BC = 20cm , E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求 PC+PD勺最小值；作点C关于BD的对称点 C，过点C，作CB丄BC,交BD 于点P,贝U CE就是PE+PC的最小值直角 BCD中, CH =205错误！未找到引用源。直角 BCH 中，BH = 85 BCC的面积为：BHX CH = 160所以 CE X BC = 2 X 160 则 CE = 16（六）菱形类15.如图，若四边形 ABCD是菱形，AB=10cm,Z ABC=45 , E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点 A,过点A作A
14、E丄BC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在等腰 EAB中,求得AE的长为5 2（七）直角梯形类16.已知直角梯形 ABCDK AD/ BC, AB丄BC AD=2, BODO5, 点P在BC上移动，则当 PA+PD取最小值时， APD中边AP上 的高为（）A 217 B 417C 817 D 317 、1717A作点A关于BC的对称点 A，连接AD，交BC于点P 贝U AD = PA+PD = PA+PDAD的长就是 PA+PD的最小值S APD= 4在直角 ABP中，AB = 4，BP = 1根据勾股定理，得AP = 17所以AP上的高为：48 172X= 11717（八）圆类17.已知O O的直径CD为4,/ AOD的度数为60,点B是AD的中点，在直径 CD上找一点CDP,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值. 即是在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小 作点A关于CD的对称点 A，连接AB，交CD于点P, 则AB的长
