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1、第一单元层次分析法一AHP介绍（The Analgtic Hierarachy ProcessAHP）前言 最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着 统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并 且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万 能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终 点：一一人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是 AHP 产 生的背景。匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。于80年代初 由 Saaty 的学生介绍到我国。层次分析AHP
2、的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策 问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定 量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作 一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。好在我 们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景。AHP 的主要不足在于：1. AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立， 判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能 造成
3、决策失误。规划论一一采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决 策结果令决策人难以接受。AHP从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主 观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时， AHP 的结果显 然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式。尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用， 仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。1 AHP 预备知识（一）1. 特征根与特征向量设A = 丿 为n阶方阵，若存在常数九和非零n维向量g = （g , g ,A , g ）， ij mxn12n使得Ag=九
4、g则称，九是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于（属于）特 征根九的特征向量。特征根的求法如下：由（1）得 Ag 九g = 0 n（A-九E）g = 0, 这是一个 n 元一次线性齐次方程组 由于该方程组有非零解g，所以，系数行列式为零，即A 九 E| = 0（2）称（2）式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由代数基本定理知， 该方程有且只有n个根。2. 重量模型设u ,u ,A ,u为n个物体，重量分别为g , g ,A , g。但是，我们并不知道物 1 2 n12 n体的重量，只知两两之间重量的比值：设准则 C 为“重量大为好” 按其重量大小排序。a = g ;：gi
5、j厂 j12n已知 a （1 i, j 0， （2） a =ijij邑1gng劝gHr-g丿n显然 a 满足ij互反矩阵；若（3） a -aij但是，通常（ 3）式不被满足。g2笃g浙gHr-1g2jk。称满足（1）、（2）的矩阵A为正 aji=a，则称满足（1）、（2）、（3）的矩阵C ）为一致性判断矩阵。ik ij要在准则C下对元素u ,u ,A ,u排序，也就是我们的问题可表述为：已知判断矩阵A,在准则C下对n个物体排序。即 按重量大小排序。如果，a =鼻，其中g ， g是重量的精确值，此时（1）、（2）、（3）显然 ij gi j成立，即 A 是一致性矩阵。令g = （g , g ,A
6、 , g ）t，则Ag = ng。即n是方阵A的特征根，g是A的属于12 n九=n的一个特征向量；事实上不难验证：n是一致性判断矩阵方阵A=（aj的最大特征根，其余n-1 个特征根全为零，而f=（g1，g 2,A , g” ）t是A的与最大特征根n对应的特征向量 （证明见附录）。的n个分量是n个物体的重量，因此，可根据f=（g , g ,A , g12 n对u , u ,A , u按重量排序。12 n注：kg(k丰0)也是n对应的特征向量，当k 0时，kg与g的分量成比例， 分量的大小顺序不变。所以，只需求出n的任一个分量全为正的特征向量，则可 按此特征向量的分量大小顺序对物体排序。3. AH
7、P模型如果对矩阵A有一个小的扰动，即a不再是真实重量的比值，这时显然Aij不满足一致性条件，此时A的最大特征根九不再是n；因扰动很小，希望九 m axm ax与n相差不大，这时九口宓对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量 g=g , g ,A , g ，但是，变动也不会太大。12 n我们设想：如果扰动不大，则九 离n就不远，此时九 对应的特征向量g / m axm ax与g差不多，如果g/不改变g的各分量的大小次序，则g/同样给出n个物体 u ,u ,A ,u 按重量大小的真实排序。1 2 n这样，对不满足一致性的正互反矩阵A = (a )，我们求其最大特征根ij nxn九，再求与九 对应
8、的特征向量g，则可按g对n个物体u ,u ,A ,u按重量大 maxm ax1 2 n小排序。但是，这一番理论有几个疑点：当A不满足一致性时，A还有没有最大正 的特征根；既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根九对应的特征向量 max 的分量能否全是正数？矩阵代数中 PerroFrobineus 理论明确地回答了这个问 题。Perro-Frobineus 定理：1. 正矩阵存在重数为 1 的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根， 该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征 向量是惟一的。Perron定理明确告诉我们，对正的互反矩阵A,既使它不满足一致性，也一
9、定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归 一化”后是惟一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大 小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A 的最大特征根九=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？max人们难于正面明确地回答这个问题，而只能给出一个并不是十分令人满意的 简接回答。那就是对判断矩阵A = 0丿的一致性满意程度进行检验。ij由于对A的扰动不大，最大特征根与n不会相差太大。可以证明：只要A不 满足一致性，那么A的最大特征根九 一定比n大，即九-n 0。max max 令C.I.=- maxn
10、-1显然，我们希望C.I.尽量小；但是，C.I.小到什么程度，才能使九 与n对max 应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困 难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。 Saaty 给出了平均一致性检验值 R.I. 。重复 1000 次，对随机判断矩阵 A 的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如 下：阶数123456789 10 1112131415R.I.000.520.89 1.12 1.261.361.411.46 1.49 1.521.541.561.581.59令C.R.=C.I.R.I.当 C.R. 0.1 时，认为
11、判断 矩阵 A的一致性是 可以被接受的。亦即当C.I. 0.1R.I.时，认为判断矩阵A = (a )的一致性是可以被接受的。即认为此时 ij的A的九 对应的特征向量“归一化”后，能给出n个物体u ,u ,A ,u按重量大m ax1 2 n小的真实排序。 明显看出这不是正面回答，也有些令人难以置信。但是，这已是目前为 止最好的回答，这也是 AHP 理论上不够严谨的地方。不过，从应用角度看，当 C.R.0.1 时， AHP 不再适 用，这时，只能变更递阶层次结构，或对判断矩阵 A 重新赋值。 由此得层次分析法 AHP 的步骤如下。 1.给定A，求九 及相应特征向量；m ax 2. 将特征向量“归
12、一”后，即得排序向量； 3.进行一致性检验。若检验通过则排序向量可信；否则重新对A赋值。 2 AHP的基本步骤 用 AHP 解决问题，有四个步骤： 1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。下面通过一个决策方法应用实例，说明AHP的每个步骤的实施。例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：改善该街区交通环境。有三种方案可供选择： A ：修天桥或修高架桥； A ：修地道； A ：商场搬迁。1 2 3 选择方案的准则有5个：c :通车能力； c :方便市民； c :改造费用；1 2 3c :市
13、容美观。5试用 AHP 方法决策c :安全性；4决策步骤如下：一、建立递阶层次结构： AHP的特点，也是优点。本来，n个元素比较n-1次，即可确定顺序，为什么要 比较丛2二9次呢？这是由事物的复杂性和决策者的局限性决定的。事实证明，n 21.目标层最高层：目标层G：改变交通环境1 f1C2 :方便市民2.准则层Ci :通车能力:安全性cc3 :改造费用5 :市容美观3.|=r方案层亠心A 方案1亠心A 方案2亠心A方案3递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。二、构造两两比较判断矩阵在单准则下分别构造两两比较判断矩阵，即在G下对c、1c、2c 、 c 、34c构造两两比较
14、判断矩阵；分别在c、c、c、c、c512345两比较判断矩阵。下对 A 、 A 、 A 构造两1在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵A = (a )呢? ij即如何具体确定比值 a 呢？在 AHP 中采用 1-9 比例标度法。 ij 2.1关于1-9比例标度 n个元素U1，U小，Un，两两比较其重要性共要比较咛2次。第 i 个元素u与第j个元素u重要性之比为a。AHP采用1-9比例标度来确定a ；这是ijijij个元素按重要性只有两两比较，才能揭示重要性的内在规律，仅仅比较n-1次是 决然不行的，因为只比较n-1次，其中若有一次失误，则排序就将遭到破坏。而 两两比较可减少失误。比较两个元素的重要性，总是在某种准则(准则层比较是以总目标G为 准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则)下进行的。至于为什么取 1-9 比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出 9个等级的差异，
