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1、解密15 空间中的平行与垂直 高考考点命题分析三年高考探源考查频率空间点、线、面位置关系的基本问题空间点、线、面位置关系既是高考的必考点,也是考查的难点,其在高考中的命题形式较为稳定,以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明2019课标全国72018课标全国92019课标全国8平行与垂直关系的证明2019课标全国18（1）2019课标全国17（1）2018课标全国182017课标全国182019课标全国19（1）平面图形的翻折与存在性问题2019课标全国19考点1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一 位置关系的判断调研1 （陕西省宝鸡市宝鸡中学2019-2020学年高三上学期期中
2、数学试题）已知,是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面,平行的是Am,n是平面内两条直线,且m,nBm,n是两条异面直线,m,n,且m,nC面内不共线的三点到的距离相等D面,都垂直于平面【参考答案】B【解析】对于A,m,n是平面内两条直线,且m,n,与面面平行的判定定理相比,缺少m与n交于一点,不能判断；对于B,m,n是两条异面直线,m,且m,过m 作一个平面与相交,则由线面平行的性质定理可得交线与平行,又m,n是两条异面直线,交线与n必相交.因为m,所以在内存在直线m1m,又m,所以m1；又m,n是两条异面直线,所以直线m1与n是两条相交直线；又n,所以；对于C,因为内不共线的三点到的
3、距离相等,此三点在两平面相交时也可以找出,所以不能判断；对于D,因为,都垂直于平面时,两平面、的位置关系可能是平行或相交,所以不能判断故选：B【名师点睛】本题考查了判断面面平行的应用问题,也考查了推理论证能力与空间想象能力,是基础题调研2 设l，m，n表示三条直线,，表示三个平面,则下列命题中不成立的是A若m，n，mn,则nB若，,则C若m，n是l在内的射影,ml,则mnD若，=m，lm,则l【参考答案】D【解析】对于A,由线面平行的判定定理可知,若m，n，mn,则n,正确；对于B,互相平行的平面,一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面,故正确；对于C,由三垂线定理可知,若ml,则m
4、n,正确；对于D,由两个平面垂直的性质定理可知,要使l,则需要添加条件l/或l,故D错误方法技巧点拨空间中点、线、面的位置关系的判定方法：（1）可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例（2）可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义题组二 位置关系的判断与其他知识相结合调研3 已知表示两个不同的平面,表示一条直线,且,则是的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【参考答案】D【解析】由题意,则或,所以充分条件不成立；又当,时,不能得到,所以必要条件不成立,故选D调研4 已知l为平面内的一条直线,表示两个不同的平面,
5、则“ ”是“l ”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【参考答案】B【解析】若l为平面内的一条直线且l,则,反过来则不一定成立,所以“”是“l”的必要不充分条件,故选B考点2 平行与垂直关系的证明题组一 平行的判定及性质调研1 如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD，AD/BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点,AM=2MD，N为PC的中点（1）证明：MN/平面PAB；（2）求四面体N-BCM的体积【参考答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT，TN,由N为PC中点知TN/BC，TN
6、=12BC=2,即TN=AM，又AD/BC,即TN/AM，故四边形AMNT为平行四边形,于是MN/AT，因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN/平面PAB（2）因为PA平面ABCD，N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA，取BC的中点E,连接AE,由AB=AC=3得AEBC，AE=AB2-BE2=5，由AM/BC得M到BC的距离为5,故,所以四面体N-BCM的体积为调研2 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,BCAB,点M,N分别是线段A1C1,A1B的中点设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证：MNl【参考答案】见解析【解析】可先证明MN平面B
7、CC1B1,然后利用线面平行的性质定理即可得证方法1：如图,连接C1B,在中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点, 所以MNC1B又MN平面BCC1B1,C1B平面BCC1B1,所以MN平面BCC1B1又MN平面MNB1,平面MNB1平面BCC1B1=l,所以MNl方法2：取A1B1的中点P,连接MP,NP,如图所示在中,点M,P分别为A1C1,A1B1的中点,所以MPC1B1又MP平面BCC1B1,C1B1平面BCC1B1,所以MP平面BCC1B1同理可证NP平面BCC1B1因为MPNP=P,MP平面MNP,NP平面MNP,所以平面MNP平面BCC1B1因为MN平面MNP,所以MN平面BC
8、C1B1又MN平面MNB1,平面MNB1平面BCC1B1=l,所以MNl题组二 垂直的判定及性质调研3 如图,在直三棱柱中, ,分别是,的中点（1）求证：平面；（2）求证：【参考答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）如图,取的中点,连接因为分别是的中点,所以且在直三棱柱中,又因为是的中点,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,而平面,平面,所以平面 （2）因为三棱柱为直三棱柱,所以平面,又因为平面,所以平面平面, 又因为,所以,因为平面平面,所以平面,又因为平面,所以,如图,连接,因为在平行四边形中,所以,又因为,且,平面,所以平面, 而平面,所以调研4 如图,在四棱锥中,底面为正方形
9、,平面底面,点,分别是,的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上求作一点,使得,并说明理由【参考答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）因为点,分别是,的中点,所以因为四边形BCDE为正方形,所以,所以因为平面,平面,所以平面 （2）因为平面底面,所以平面因为平面,所以因为,点是的中点,所以因为,平面,平面,所以平面 （3）取中点,连接,过点作,交于点 则点即为所求作的点理由：因为,点是的中点,所以因为平面底面,所以平面,所以因为,所以平面因为平面,所以方法技巧点拨空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用,如下图：在解决平行(垂直)关系的判定时,一般遵循从
10、“低维”到“高维”的转化；而应用性质定理时,其顺序则正好相反在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用题组三 线面角与二面角调研5 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1,AC2,BC3,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为A30B45C60D90【参考答案】A【解析】取AC的中点F,连接DF,BF,因为D,E分别是AC1和BB1的中点,所以DF=BE,且DF/BE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE/BF,过点F作FG垂直于BC,交BC于点G,由题意得（或其补角）等于直线DE与平面BB1C1C所成的角,因为AB1,AC2,BC3,所以
11、,CF=FA=FB=1,所以FBG=30即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30故选A调研6 如图所示,在四棱锥A-BCDE中,平面BCDE平面,ABC=30（1）求证：ACBE；（2）若二面角B-AC-E为45,求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值【参考答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在中,应用余弦定理得,解得AC=23所以AC2+BC2=AB2,所以ACBC因为平面BCDE平面ABC,平面BCDE平面ABC=BC，BCAC,所以AC平面BCDE又因为BE平面BCDE,所以ACBE（2）因为AC平面BCDE，CE平面BCDE,所以ACCE又BCAC,平面ACE平面ABC=AC,所
12、以BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角,即BCE=45因为BEEC，ACBE，ECAC=C,所以BE平面ACE所以BAE是直线AB与平面ACE所成的角因为在中,BE=BCsin45=32,所以在中,即直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为调研7 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=900，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D, BA1AC1（1）求证：AC1平面A1BC；（2）求二面角A-A1B-C的余弦值【参考答案】（1）见解析；（2）77【解析】（1）由题意知A1D平面ABC,且A1A=A1C,又A1D平面A1C1CA，平面A1C1CA平面ABC又B
13、CAC，BC平面A1C1CA,又AC1平面A1C1CA，BCAC1,又BA1AC1,且BC，BA1为平面A1BC内的两条相交直线,AC1平面A1BC（2）设AC1与A1C的交点为O,则由（1）有AO平面A1BC过点A作AEA1B于E,连接OE,则OEA1B,故AEO为所求二面角的平面角AO平面A1BC，AOA1C由O为A1C中点,得AA1=AC=2,则AO=3又在中,得EO=22在中,AOE=900，AO=3，EO=22,得cosAEO=77,即二面角A-A1B-C的余弦值为77调研8 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90，AC=AB=AA1， E是BC的中点,G是CC1的中点（1）求异面直线AE与A1C所成的角；（2）求证：EGA1C；（3）求二面角C-AG-E的正切值【参考答案】（1）3；（2）见解析；（3）5【解析】（1）取B1C1的中点E1,连接A1E1，E1C，则AE/A1E1,所以E1A1C（或其补角）等于异面直线AE与A1C所成的角设AC=AB=AA1=2a,则A1E1=2a，A1C=22a,E1C1=12B1C1=2a,E1C=E1C12+C1C2=6a在中,所以异面直线AE与A1C所成的角为3（2）由（1）可知,A1E1B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1E1平面BCC1B1,得A
