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1、 1 第1讲函数与方程思想1函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2和函数与方程思想密切关联
2、的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角
3、坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.热点一函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0时，f(cos22msin )f(2m2)0恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，)解析f(cos22msin )f(2m2)0f(cos22msin )f(2m2)cos22msin 1sin2.当时，2m02，此时mR；当0，令t1sin ，则t(0,1，此时m(t2)设(t)(t2)，而(t)在t(0,1上的值域是(，故m.(2)在R上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是()A(，) B(，)C(1,
4、1) D(0,2)答案A解析由题意，知(xy)*(xy)(xy)1(xy)1对一切实数x恒成立，所以x2xy2y10对于xR恒成立故124(1)(y2y1)0，所以4y24y30，解得y0或f(x)0或f(x)max1a，所以a0，故a(0，热点二函数与方程思想在数列中的应用例2已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项an；(2)设数列bn的通项bn，记Sn是数列bn的前n项和，若n3时，有Snm恒成立，求m的最大值解(1)an是等差数列，a11，a2a3a10144，S10145，S10，a1028，公差d3.an3n2(nN*)(2)由(1)知bn，Sn
5、b1b2bn，Sn.Sn1Sn0，数列Sn是递增数列当n3时，(Sn)minS3，依题意，得m，m的最大值为.思维升华(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解(1)(20xx江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_(2)已知函数f(x)()x，等比数列an的前n项和为f(n)c，则an的最小值为()A1 B1C. D答案(1)4(2)D解析(1)因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a
6、62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.(2)由题设，得a1f(1)cc；a2f(2)cf(1)c；a3f(3)cf(2)c.又数列an是等比数列，()2(c)()，c1.又公比q，an()n12()n，nN*.且数列 an是递增数列，n1时，an有最小值a1.热点三函数与方程思想在几何中的应用例3已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b.所以椭圆C的方程为1.
7、(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d.由，解得k1.所以，k的值为1或1.思维升华几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决(1)(20xx安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)答
8、案(1)x2y21(2)B解析(1)设点B的坐标为(x0，y0)，x21，且0b1时，01，所以2e25，即ebc BacbCcab Dcba答案C解析0a2201，blog2log1，即0a1，b1，所以cab.2(20xx福建)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B.C7 D6答案D解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6，故选D.3(20xx福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设该长方体容器的长为x m，则宽为 m又设该容器的造价为y元，则y2042(x)10，即y8020(x)(x0)因为x24(当且仅当x，即x2时取“”)，所以ymin80204160(元)押题精练1若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_答案1,2)解析令f(x)(22|
