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1、第八讲、直线、平面、简单几何体三、立体几何初步 （一）空间几何体 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征， 2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，会用斜二测法画出它们的直观图。 3.会用平行投影与中心投影这两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。 5.会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）。 （二）点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公
2、理和定理。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。 理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平
3、行。 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。 理解以下性质定理，并能够证明： 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。 垂直于同一个平面的两条直线平行。 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念。 4.能证明一些空间图形位置关系的简单命题。平面 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基
4、本的属性2平面的表示方法：一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
5、它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一 如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性
6、，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形空间直线1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点； （2）平行在同一平面内，没有
7、公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：3等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法 6异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与是异面直线7异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条
8、上 异面直线所成的角的范围：8异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作9求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离两条异面直线的
9、公垂线有且只有一条 计算方法：几何法；向量法直线与平面平行和平面与平面平行 1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）;符号表示为: 2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 推理模式：3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：4平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行5平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线
10、分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行 推理模式：，6平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推理模式：8平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行推理模式：9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面推理模式：直线与平面垂直和平面与平面垂直 1 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a
11、2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行4 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式： 5三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： 6 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7两平面垂直的判定
12、定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：，8两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式： 9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法： 证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； 证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直空间向量及其运算 1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
13、;运算律：加法交换律： 加法结合律：数乘分配律：3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使4 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线5 共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足
14、等式 其中向量叫做直线的方向向量6空间直线的向量参数表示式：或，中点公式 7向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有或 （式叫做平面的向量表达式）9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：11向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：12向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作
