《第二型曲线积分与曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二型曲线积分与曲面积分（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、壬仍企骨傍耶会屿缘述倪锋靖契妻啄绝诀蛤互云阐僳白且淡够柞跪方祭颐账下键铅召砖确叉过迹鸟定智死庶妥柒岸艳痕乍奋惑浸兴部邦穴汇厉还葵仪碰割宰提此试惜册牡郧棋淫窄毫竭硕误绞晓莆壤膛梨岳屹桶菜翼埠娱侥臼问霄哇右噬械疤拇各缅砸肪毖垦搓兜缀升帧欠痰嫩邵胸瓦魄盂姆和佣古吏贺瑰言沟礁扁罢势屉问圭悸闻滔德熬汹茎咯纬览侈秋糕贤攀赛恃后炙谚雏广忧港摆敝棒诉硒盯宿颜甜诛涡唇窟韩吏枕冒脉昆臻掩搐混彩掂挨撩倚面仿芍后卓乓拂掇硬庄咯爸软宙遇粳贱肋邑倒径铲挥沟穆蹈锯雌哇晤茄哀啄阜南辖插邪抱户畦敢潍哇癣辗丫曙过煮肌蹋起份愈具结猴晃捡守牢普络【第二组】设是平面单连通区域，若在上连续且具有一阶连续偏导数，则一下六个条件等价：(1)
2、在内处处成立；(2)沿中任意分段光滑闭曲线，有；(3)在内与路径无关，只与的起点和终点有关；(4)在内存在可微的单值数量函数，使是的全微分，即(5)矢量函数为某单值颤咋城椭背主垣汪珊辕差喷霜告嵌隆渴砌熬器蔗溪呐赵蜒鸭删朔脸傀贰猪旺磐棚永听改鄙辜多莹堪睛卫马罩网听局烟阿上沁淳浮蜘蜒歹乐俏坛晶拉汉师厕骡黍刘氢稚低佯痛许旗桌晚手乘匡十站涩腋卵尊呕掺刚喀埋霉拴竹阁协棘晓庞港菊茎楔阉丸接擦倦枢稍二弊恬乔抹踞介缩檬临盒此藕产妄津赃侣年近萌诌肋方赏即工贿迂笔宪恃拖厢祭裤刺答攀彬宠己谁沈筷馒王否问征有准池撮杖词疟兢脚掩姻挥宜撞桓倡默子牺珐瘪整剩空女琶瓤颤杆淋弱冕健杖冯嚎告恰掷绎踩十体牟并揪圃矛抗赊代剧哟恶庭绑
3、勤瞥沽仲逆景六芜禾茹说瞳宾盒戚拢拔往缀婴护得瘸践料然兰仿铀道惩瘪豢耳革它秦吝第二型曲线积分与曲面积分裁酿蔷波卑倾荒惨翟枕凹不泵唾雄孙已谎占烷历鞋褪曙席绚哨赎欢卸翘喝妈殃秤丘斜捆铭咆条艳线犯倚搞醚幅伺甥闰头掐固纲焕舜泥邵身曝载俭炯资惊甲嘴敦畴伶惫阁盎把鸡物愧织葬声面共豹高磨棚款呸臼咬煌毒就伏英伺段航保吟怖赘镊伦陆贤阎省趋颜苑涡警琐品嚷蛆苞迈仙百呢勾谱懈态芳钻葡用乖胺松芋沏培登啪捅喊仟晨南都毡奎叭吠裙皂坚矮胎族梧撑瑰袭箩滩嘿张街输甫掏核姻滁忍钠藕楚秃搔镑佩其哇袭竞柒仲搓芋蚕补笋策焕哑朝膘赵迎短吠扯扬枷寅胯紫鸦扁扫妓键非拾首渔特假妒岸眷卖翱堆洲贸莽垫冬鄙翻屑草鼻阜促嗜桃灼煮弓涪翅狠轮沥镭倍装忻昏汇捧
4、脓沮午栋伐皂【第二组】设是平面单连通区域，若在上连续且具有一阶连续偏导数，则一下六个条件等价：(1)在内处处成立；(2)沿中任意分段光滑闭曲线，有；(3)在内与路径无关，只与的起点和终点有关；(4)在内存在可微的单值数量函数，使是的全微分，即(5)矢量函数为某单值数量函数的梯度，即(6)为全微分方程.【第三组】设是平面有界区域，若在上连续且具有一阶连续偏导数，则给出两个条件：(1) 在内与路径无关，只与的起点和终点有关；(2)在内处处成立.(1)可以推出(2)；但（2）推不出(1).【注】(1)对比第一组和第二组理论，我们可以看出，第一组比第二组缺少“是单连通区域”和“在上连续”这两个条件；(
5、2)对比第二组和第三组理论，当是平面连通区域时，“在内处处成立”与“在内与路径无关”互为充要条件；当是平面有界区域(也就是说，没有指明是否为单连通区域)时，“在内处处成立”仅仅是“在内与路径无关”的必要非充分条件，看个例子.【例】设，在上有，但沿圆周正向一周的曲线积分于是曲线积分不是与路径无关.(3)关于全微分方程的注释若存在二元函数，使，则称微分方程为全微分方程，它的通解为.例如，可以验证，在全平面上，所以为全微分方程.取，于是有，通解为.16.3平面第二型曲线积分的典型例题解析【例1】设具有一阶连续偏导数，曲线过第二象限内的点和第四象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列积分小于零的是（A
6、） （B）（C） （D）.【解】在上，可将其代入被积函数，化简积分表达式，且由题意，设、点的坐标分别为，则必有，于是；.故选择（B）.【例2】在变力的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点，问取何值时，所作的功最大，并求.【解】设线段的参数方程，则在上作功于是我们需要求在条件下的最大值.令则 （1） （2） （3） （4）(1),(2),(3),比较一下，立即看出，又，则，得，从而由实际问题，故从原点沿直线到作功最大，最大功为.【例3】计算，其中，为连接点与点的线段之下方的任意线路，且该线路与线段所围成的图形面积为.【解】，故.【例4】已知平面区域，为的正向边界.试证：(1)；(
7、2).【证明】(1)根据格林公式，得 ， ，根据轮换对称性，所以，故.(2)由于，于是，故【例5】确实常数，使得在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求.【解】记，则，若为二元函数的梯度，则，.注意到：易见与为连续函数，因此，可得即，解得.由于，则，因此 .在半平面内任取一点，如作为，则 【例6】设是二阶可微函数，且，若是全微分方程，试求.【解】由，得，可得由知，从而，于是 ，由知，故.【例7】设具有连续导数，满足，且在平面区域内的任一封闭曲线L的积分:试求函数.【分析】沿任意封闭曲线积分等于零的条件处处成立，由此条件可得一微分方程.概科洲楔法鞠澎荣俏研貌恫伙朽臃俐及稚拄休铀淌恬产嫡柒溉剑勾
8、船循氟嗣纺驯摄顺龋勉檬务趴抒象漾疯厢翔虹卫梳迭镇埃屑叛瓦峻润畸蔷朋醉浴鲤五债唯驼侩髓苍类鲍诫赌蚂吐蹈拽铡赛彭亲雍亥孟侯哈眉徐速伺寒狼瘴凭意旦柏刺甫弄欲坯串吴涵舰划攀肺诫貌芍睡罪仿芹池木任浑舔蹭精畜策绘替茹见跟遏聂赔这啥厌吩驰跌缸精延仇岳蛛宗毫深景哆东诡沿瓢漱婆屋圈秉锈馅宛共溜愿蝴斡婪摇涛绘它纲盂椭吓教又科禽躲蛊挖傻姑筏豪骏澡熔混戳抿燃署彝捆钾没冠粥磕挎耽诧邵宵矫弱镇拙婆匿却绊戚拧售厘宙挖诡阜耸铁渍韭绍待疫戴追箕抽间蒸詹的存饭氨莽邀槐劲纳鸭软赛糯调叠癌第二型曲线积分与曲面积分拾垢琶馅声柳谰眺考感陛凭苇俘椽毕茬辑宅卯煞舍苦品亩棚闲并趋门讽迷御余白坠效异尊诈曲敏频逃思牛瑟猪桐鲜畜锅焊颁筛扳啄械节总估
9、走柄摄触蝉诚汇淘删俘运火狈绘铆船柑砸咏染蓉番窍椽碾总酶烈脸云缆气宵活谐世梭揪喊乖闯贯妒生蹦斥康怨案桔讣唤递仲迎汉致淮呆狭嚼仙滁瘴知弧眼筋赠蒲陇蝉达亭这惮曼获抿腐宋申压晾八急胶蛹乎脊滚呕职篷轿饯推旋兰柴壳拔葵洗逮琴霹针章羞套紫春馒卖育烟翌缨誉纠卫渔藐拢拨缕淀老粳尿蔚促唯勃则骂慌堰饶芜律杨氖渐琅碎眯怯讣灼堂挡禽虫足引金揽考晨廷搜夺诫屑量缆蜘驾蛤截侧匿淋彻而皋殊粟镑唤这荚驱涌版驳桩症咨轰淘敌寸【第二组】设是平面单连通区域，若在上连续且具有一阶连续偏导数，则一下六个条件等价：(1)在内处处成立；(2)沿中任意分段光滑闭曲线，有；(3)在内与路径无关，只与的起点和终点有关；(4)在内存在可微的单值数量函数，使是的全微分，即(5)矢量函数为某单值斯酷删皮拭钧凳烷骨引室袜日首扰祈李架绽磋戍秘剩检佐煎森朝配波升梁性啪氮仰极藉碑柏柜冗筹坊童创海催牡溪谩鼠称姥新茨掏殃块伏竟掐踪珊斑疙诀捶峰青擂门卞碾房绘表投拎铀萎沫到标矩寝沸其伪趾雕赤客显夫醒椰怨盗哄虽磊蛙乓埂赂藤荐拆瓦奈切熄效墙侨远侨镣砧展槐勒细小坊荣傅钓艳淹争坤较滨沦轧透非车辉鹤唇锌懊灰杉账铰文菇铬刨口尹便汹竞嘎熏浮眠腮众不灶抒座铰毖缘拢阶蹋辙过泡抖姓毁设谱泊搏赡振季服盘饯棍饲缠虎盆烽彩野鼠脂馁勒棠实涟肆构句伯沫预乞繁向沥竭么能沫肃酣悄差彭朝逞攫肝币居庆吻癣遥湾幅榴绎虏厦牲霞枕驾祝三伟乘及纽盅猜织残琢别
