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1、考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1（浙江卷）设向量满足,则 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5图12（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心3（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量A. B. C. D. 4（湖南卷）已知,且关于的方程有
2、实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.5（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为A B C D6（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2,6)7 (上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）8（北京卷）若三点共线，则的值等于_.9（2005年全国卷）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动
3、的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（10，10），则5秒后点P的坐标为 （10，5）10（湖南卷）已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A、B两点，且|AB|，则 . 【典型考例】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,1)为起点，且与向量b = (3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e= 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(,
4、-)方法二与向量b = (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a(3,1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60, x =2ab，y=3ba,则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=.要计算x与y的夹角，需求出|x|，|y
5、|，xy的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=cos， cos= 点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60.由向量减法的几何意义，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.【考型2】向量共线与垂直条件的考查例3平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,
6、1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中，R且+=1，求点C的轨迹方程。.解：（法一）设C(x,y)，则=(x,y)，由=(x,y)= (3,1)+ (-1,3)=(3-, +3), （可从中解出、）又+1消去、得x+2y-5=0（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x2y5=0， 例4已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t)，只
7、需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见
8、的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例5： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围.解：由条件可得：k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到
9、的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例6：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值.解： ，|=，|= ， 代入上式 3k3 当且仅当t=，即t=1时，取“”号，即k的最小值是2.【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例7设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查
10、平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x, 2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数
11、yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）例8：已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的模大小相等(kR且k0)，求解：（1）证法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)(a-b)=（cos+cos，sin+ sin）（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)证法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）
12、|a|1，|b|1(a+b)(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)证法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,记a，b，则|=1,又，O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()=
13、-2kcos()又k0cos()000, =注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.【考型4】向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，
