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1、2018-2019学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、填空题1（3分）已知i3z12i（i是虚数单位），则z的共轭复数为 2（3分）已知定点A（4，0）和曲线x2+y28上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为 3（3分）如果球的体积为，那么该球的表面积为 4（3分）已知点A（0，2），B（1，3），C（1，5），则ABC的面积是 5（3分）已知2i1是方程2x2+px+q0（p，qR）的一个根，则p+q 6（3分）已知抛物线x2py2上的点A（2，2），则A到准线的距离为 7（3分）在等比数列an中，已知a2a52a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5 8（3分）向量经过矩阵变换后
2、的向量是 9（3分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是 10（3分）已知直线l经过点P（2，1），且点A（1，2）到l的距离等于，则直线l的方程为 11（3分）已知数列2n1an的前n项和Sn96n，则数列an的通项公式为 12（3分）若向量，且x33x4y0，则与的夹角等于 二、选择题13（3分）已知ABC的边BC上有一点满足，则可表示为（）ABCD14（3分）设l表示直线，m是平面内的任意一条直线，则“lm”是“l”成立的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件15（3分）已知单位向量，的夹角为60，若2，则ABC为（）A等腰三角形B等边三角形C直角
3、三角形D等腰直角三角形16（3分）在等比数列an中，若，则（）ABCD2三、解答题17在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知，E是AB的中点（1）求四棱锥A1BCDE的体积（2）求异面直线A1E与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18已知平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，且2，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系（1）求F点的坐标；（2）求19如图，在y正半轴上的A点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若ABBO3
4、（1）求失败点组成的区域（2）电子狗选择x正半轴上的某一点P，若电子狗在线段AP上获胜，问点P应在何处？20已知椭圆的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且bc（1）求直线AB的方向向量；（2）若Q是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|3，求椭圆的方程21已知数列an的前n项和为Sn，通项公式为，数列bn的通项公式为bn2n6（1）若，求数列cn的前n项和Tn及的值；（2）若，数列en的前n项和为En，求E1，E2，E3的值，根据计算结果猜测En关于n的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数n，若恒成立，求t的取
5、值范围2018-2019学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3分）已知i3z12i（i是虚数单位），则z的共轭复数为2i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：i3z12i，iz12i，i（iz）i（12i），即z2+i，2i，故答案为：2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题2（3分）已知定点A（4，0）和曲线x2+y28上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x2）2+y22【分析】设出P，B的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点B在圆x2+y24上运动，可得轨
6、迹方程【解答】解：设线段AB中点为P（x，y），B（m，n），则m2x4，n2y端点B在圆x2+y28上运动，m2+n28，（2x4）2+（2y）28，（x2）2+y22故答案为：（x2）2+y22【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键3（3分）如果球的体积为，那么该球的表面积为9【分析】设球的半径为R，由体积求得半径，代入表面积公式求解【解答】解：设球的半径为R，由V，得R该球的表面积为4R2故答案为：9【点评】本题考查球的表面积与体积公式，是基础的计算题4（3分）已知点A（0，2），B（1，3），C（1，5），则ABC的面积是3【分析】根据三点用两点间的距
7、离公式求出AB、AC和BC的长度，然后用余弦定理求出角A，再用面积公式求三角形的面积即可【解答】解：由点A（0，2），B（1，3），C（1，5），得AB，AC，BC由余弦定理，有cosA，sinA，故答案为：3【点评】本题考查了两点间的距离公式、余弦定理和面积公式，属基础题5（3分）已知2i1是方程2x2+px+q0（p，qR）的一个根，则p+q14【分析】由条件知方程另一个根为12i，然后由根于系数的关系求出p和q【解答】解：2i1是方程2x2+px+q0（p，qR）的一个根，根据实系数多项式虚根成对定理知，方程另一个根为12i，p2（1+2i）+（12i）4，q2（1+2i）（12i）10
8、，p+q14故答案为：14【点评】本题考查了实系数多项式虚根成对定理和根与系数的关系，属基础题6（3分）已知抛物线x2py2上的点A（2，2），则A到准线的距离为【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p，然后求解准线方程，即可推出结果【解答】解：抛物线x2py2上的点A（2，2），可得p，所以抛物线方程为：y22x，准线方程为x，则A到准线的距离为：故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查7（3分）在等比数列an中，已知a2a52a3，且a4与2a7的等差中项为，则S531【分析】根据a2a52a3，求出a42，又a4与2a7的等差中项为，得到a7，所以可以求出，a
9、116，即可求出S5【解答】解：依题意，数列an是等比数列，a2a52a3，即，所以a42，又a4与2a7的等差中项为，所以2+2a72，所以a7，所以q3，所以q所以a116，所以S531故答案为：31【点评】本题考查了等差数列的等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式本题属于基础题8（3分）向量经过矩阵变换后的向量是【分析】运用矩阵的向量变换，计算可得所求【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查矩阵的变换，考查运算能力，属于基础题9（3分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是y【分析】利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的一个焦点
10、是，可得a2+913，解得a2，所以双曲线的渐近线方程是：y故答案为：y【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查10（3分）已知直线l经过点P（2，1），且点A（1，2）到l的距离等于，则直线l的方程为2xy+50或x+2y0【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，不成立；当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为kxy+2k+10，由点A（1，2）到l的距离等于，解得k2或k，由此能求出直线l的方程【解答】解：直线l经过点P（2，1），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，点A（1，2）到l的距离d1，不成立；当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为y1k（x+2
11、），即kxy+2k+10，点A（1，2）到l的距离等于，d，解得k2或k，直线l的方程为y12（x+2）或y1（x+2），即2xy+50或x+2y0故答案为：2xy+50或x+2y0【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（3分）已知数列2n1an的前n项和Sn96n，则数列an的通项公式为【分析】利用递推式即可得出【解答】解：数列2n1an的前n项和Sn96n，当n1时，20a196，解得a13当n2时，Sn196（n1）156n，2n1anSnSn196n（156n）6，故答案为：【点评】本题考查了递推式的应用，考查了分类讨
12、论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（3分）若向量，且x33x4y0，则与的夹角等于90【分析】由平面向量数量积的运算得：y2+（x33x）24y+x33x0，即与的夹角等于90，得解【解答】解：由（，1），（，），所以0，|4，|1，所以y2+（x33x）24y+x33x0，即与的夹角等于90，故答案为：90【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题二、选择题13（3分）已知ABC的边BC上有一点满足，则可表示为（）ABCD【分析】根据即可得出，解出向量即可【解答】解：；故选：D【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算14（3分）设l表示直线，m是平面内的任意
13、一条直线，则“lm”是“l”成立的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：因为m是平面内的任意一条直线，m具有任意性，若lm，由线面垂直判定定理，则l，所以充分性成立；反过来，若l，m是平面内的任意一条直线，则lm，所以必要性成立，故“lm”是“l”成立的充要条件故选：A【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键15（3分）已知单位向量，的夹角为60，若2，则ABC为（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【分析】根据题意，由向量加减法的意义，用向量、表示出向量、，结合题意，求出向量、的模，由三角形的性质，分析可得答案【解答】解：根据题意，由2+，可得2，则|2|2，由，可得|2|222+21211+11，故|1，由（2+）+，则|2|+|22+2+2
