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1、第一讲创新应用问题一、实际应用问题(1)应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化.(2)建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决).典例(1)一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x的值应为()A6B3C1 D.解析无盖方盒的底面边长为62x，高为x，其容积V(x)(62x)2x4x324x236x(0x3)，则V(x)12x248x3612(x1)(x3)，当x(0,1)时，V(x)0，函数V(
2、x)单调递增；当x(1,3)时，V(x)0，函数V(x)单调递减故当x1时，无盖方盒的容积最大答案C(2)(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年解析设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元由130(112%)n200，得1.12n，两边取常用对数，得n，n4，从2019年开
3、始，该公司投入的研发资金开始超过200万元答案B反思领悟解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型创新预测为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表：当天处罚金额x(单位：元)05101520当天闯红灯人数y8050402010(1)根据以上数据，建立当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程；(2)根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为320人，每人
4、闯红灯的可能性相同，且相互独立，在处罚金额为0元的情况下，记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为X，求X的分布列和数学期望参考公式：，.解：(1)由题意得(05101520)10，(8050402010)40，iyi0805501040152020101 150，025100225400750，所以3.4，403.41074，所以当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程为3.4x74.(2)上述路口每天经过的行人约为320人，在处罚金额为0元的情况下，闯红灯的人数为80，故每人闯红灯的概率为.易知X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X0)C3，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)
5、C3，所以X的分布列为：X0123P故E(X)0123.二、创新性问题(1)以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.(2)以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.(3)以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.典例设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使得f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()A(，0B.C. D.解析由题意，方程ax23
6、xax在区间1,4上有解，显然x1，所以方程ax23xax在区间(1,4上有解，即求函数a在区间(1,4上的值域，令t4x5，则t(1,11，a，当t(1,0时，a0；当t(0,11时，0a，当且仅当t3时取等号综上，实数a的取值范围是.答案C反思领悟高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策
7、略创新预测1定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)为首项，公差为d(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，则_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因为向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以.答案：2(2017青岛一模)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”给出下列函数：yx2；yex1；y2xsi
8、n x；f(x)以上函数是“H函数”的所有序号为_解析：由不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，得x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，即(x1x2)f(x1)f(x2)0.所以函数f(x)为定义域R上的单调增函数yx2在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，不合题意；因为yex1，所以yex0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；因为y2xsin x，所以y2cos x0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；显然，函数f(x)为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意综上，为“H函数”答案：3.如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy，平面上
9、任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若xe1ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)给出以下结论：若60，P(2，1)，则|；若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)；若(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2y1y2；若60，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2y2xy10.其中所有正确结论的序号是_解析：对于，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|，故正确；对于，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，故正确；对于，(
10、x1，y1)，(x2，y2)，所以(x1e1y1e2)(x2e1y2e2)，因为e1e20，所以x1x2y1y2，故错误；对于，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为|OP|1，所以(xe1ye2)21，所以x2y2xy10，故正确故填.答案：三、数学文化问题高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如九章算术数书九章算数书等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值.1三角函数中的数学文化典例第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，
11、大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么tan_.思路分析本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可解析依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin 5cos 1，即有sin cos .从而(sin cos )22(sin cos )2，则sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan7.答案7相关链接1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵既巧妙地
12、考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等创新预测欧拉公式eixcos xisin x是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，复数ee(1i)2的虚部是()A1B1C2 D2解析：选D依题意得，ee(1i)22i12i，其虚部是2.2数列中的数学文化典例(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请
13、问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏思路分析此问题实质是等比数列问题，相当于已知S7，求a1.解析每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a13.答案B相关链接我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解创新预测中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里C48里 D24里解析：选B依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有378，解得a1192
