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1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB绕点A顺时针旋转90后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足NBB1的面积是NDD1面积的2倍，求点N的坐标解析 （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2
2、过点（3，2）将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，ADBCx轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（-1，5）（1）直接写出下列各点坐标A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积（保留）；（3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A的函数关系式；（4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线y=x
3、2”改为“抛物线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四点【解析】（1）易得点C的纵坐标和点B的纵坐标相等，横坐标比点B的横坐标小8，过A作AEBC于点E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么点A的横坐标比点B的横坐标小3，纵坐标比点B纵坐标小4，点D的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标比点A的横坐标小2；（2）绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为4，母线长为5的圆锥的侧面积和一个半径长为4，母线长为2的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；（3）设新函数解析式为y=（x-h）2，把（-4，1）代入即可求解；（4）可
4、把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2上；进而设函数的解析式为y=mx2，A，B中的2点代入即可求解如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形AABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AABB的对称中心点M的坐标【解析】（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可（2）本题需先根据四边形AABB为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得
5、到平移后抛物线的表达式（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A、B的坐标，再过点A作AHx轴，得出BH和AH的值，再设菱形AABB的中心点M，作MGx轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示（1）求点D关于y轴的对称点D的坐标及a、b的值；（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+O
6、D1最短的一点，求此抛物线的解析式【解析】（1）由矩形的性质可知B点的坐标，因为点D是BC边上的中点，所以可求出点D关于y轴对称点D的坐标，把A点和D点的坐标代入抛物线y=ax2+bx可求出a，c的值；（2）先设直线AD的解析式为y=kx+n，有已知条件可求出k和n的值，再求出直线和y轴的交点坐标即可；（3）设抛物线向下平移了m个单位，表示出点A1，点D1的点坐标，又O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系抛物线y=ax2经过A，O，D三点，图2和图
7、3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的（1）求a的值；（2）求图2中矩形EFGH的面积；（3）求图3中正方形PQRS的面积【解析】（1）根据题意可得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求得a的值；（2）根据图形分析得：正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT重合，由平行移动的性质可知EH=15，同理可得EF=10，可得矩形的面积；（3）建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF在旋转过程中，
8、（1）如图，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ；（2）当CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是 （a为锐角时）；（3）如图，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图，当旋转角a=90时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E（2）已知BCD=60，BCF=30，然后可得=60（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值当x=7时代入函数解析式可得解如图，在平面直角
9、坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）将矩形OABC绕原点逆时针旋转90，得到矩形OABC设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将MON沿直线BB翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式【解析】（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B的坐标，设直线BB的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可
10、得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OPMN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论【解答】（3）在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=-12x2+2x；在
11、左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的C（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），代入解出解析式为y=-12x2-3x；当它向右移时要移一个单位C与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=-12x2+3x在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），ABx轴，ABC是直角三角形，ACB=90（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将ABC直线AB翻折，得到ABC1，再将ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到AB1C2请
12、求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围【解析】（1）过C作CDAB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在RtACB中，CDAB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1AB1，根据ACDAC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行
13、验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22)，由于此顶点在ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0m5的范围内，然后分三种情况考虑：顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围如图抛物线y=ax2+ax+c（a0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方抛物线上是否存在一点P使得PB
14、C的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论【解析】（1）抛物线y=ax2+ax+c（a0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；（2）因为SABC=3，PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB（1）现将AOB绕点O按逆时针方向旋转90，得到COD，（点A落到点C处），请画出COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的
