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1、与“变”同行，让“变”升华 基于一次作业讲评的拓展【案例背景】在一次月假结束返校后的作业批改中，发现学生对八下作业本（1）中第6面C组第11题第（2）小题的完成情况很不理想。绝大多数同学因为不知道而空白，即使少数写过的同学，也是不知所云。在我们班有那么几个学生的数学功底是不错的，理论上讲，至少有几个学生应该知道如何解决。可事实并非如此。问题出在哪里？于是我陷入了思考，该怎么讲评此题？如何解决学生的这一思维上空白？如何通过本题的讲解让学生真正理解此类问题呢？图一【案例描述】问题情境：原题如下：在如图一所示的1111的方格内，A、B、C、D四个点都在格的顶点上，且ABBC2CD4，P是线段BC上的
2、动点，连结AP、DP。（1）设BPa，用含字母a的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当a2时，APDP的值；（2）APDP是否存在最小值？若存在，请求出最小值。师：对于第（1）小题，同学们没有问题，对吧？对于第（2）小题，你们不知道如何解决，可以先谈谈你们遇到的困难吗？生1：老师，我知道APDP是存在最小值，可是我不知道什么时候取最小值，更不知道怎么去求了。生2：老师，我也是遇到这样的困难，所以就觉得无从下手。生3：我一看就觉得头疼，所以就放弃去做的念头了。师：我们以前遇到过这样的求两条线段和的最小值的问题吗？生（齐声回答）：遇到过。师：哪位同学帮我们一起回忆一下？生4：我知道，就是在公路
3、的同侧有两个村庄A、B，现要在公路边建一个车站，要求车站到两个村庄的路程之和最小，请问车站要建在哪里？师（依学生的描述，我画出相应的图形如图二）：这问题实际上就是在公路上找一点P，使得线段APBP的和最小，和这个问题一样吗？ 图二生（齐声回答）：一样。师：很好，那么我们当初是怎么解决这个问题的？生5：作点A关于直线得对称点，连结，交直线于点（如图二）。则当点P在点时（如图二），线段APBP的和最小。师：为什么？你是依据什么得出此时线段APBP的和最小？生5：由对称的性质可知，当点所以P和点重合时，APBP，依据两点之间线段最小知此时线段APBP的和最小。师：很好，大家听明白了吗？那么现在可以解
4、决这个问题了吗？接下来师生一起，很顺利地就解决了这个大多数同学认为很难得题。师：解决本题了，那么我们尝试一下，是否能够解决与本体类型相似的其他问题呢？（出示变式题一）在如图三所示的88的方格内，A、B、C、D四个点都在格点上。且AD1，DC3，BC2. （1）若P为DC上的动点，设DPa，试用含有a的代数式表示AP，BP的长；并求当a1时，APBP ；当a3时，APBP 。（2）APBP在P点运动过程中是否存在最小值，最小值为多少？问题（1）：学生解决很顺利。问题（2）：生6：作点A关于直线CD的对称点，连接， 与DC的交点即为使APBP图三的值最小的点P的位置，最小值为。师：你们是这样解决的
5、吗？很好，看来大家基本上已经熟练掌握这类问题的解题技巧了。那么我们再看看这样的问题。（出示变式题二）：求当得值为多少时，代数式有最小值，最小值是多少？生7：对比上题可知，在网格中先构造一样的图形就解决了。师：怎么解决，能说具体点吗？生7：（跑上黑板前）如图四，设PDx，则CP3x。作点A关于CD对称的点，连结，交CD于点。则有。图四在RtAPD中，由勾股定理得：；同理，。所以，求代数式的最小值问题就转化为求线段的最小值了。依据“两点之间线段最小”，显然当点P移动到时，此时的值最小。最后构造如图所示的Rt，利用勾股定理，就可以求得所求代数式的最小值了。师：同学们，你们说他说的好吗？生（热烈的掌声
6、）：非常好！师：好，下面继续看看变式（出示变式题三）。已知，求当a为何值时代数式有最小值？生：转化为，于是所求代数式就转化为，就可以利用上面的方法进行解决了。师：你们现在发现什么了吗？当学生掌握变式规律后再用构造法寻找已知和未知的关系，教师在图中演示其中的过程，学生再度兴奋起来了，原来数学题也这样的神奇！教师将条件已知划一个圈：你能再将这个条件变式吗？（众生饶有兴味地看着、听着、思考着）生G：点M（x，y）满足，求代数式的最小值？师：真聪明！生H：我这样变行吗：求当x为何值时，函数的最小值？ 【案例反思】一个本并不复杂的题目，却遭遇“全军覆没”，这样的情况在笔者从教这么多年的经历中，几乎很少遇
7、到。同时，通过这样一个作业题，进行必要的拓展和延伸所带来的思维训练的效果，也同样让人欣喜。本来，错误率高，是一件让人担心的问题。但是如果我们善于用发现的眼光去寻找其错误中的“潜能”，巧妙利用这一“潜能”，不但能解决学生因为畏惧或者大意所造成的错误，而且还可以在思维训练上进行一定的延伸与拓展。由此可见，得与失之间，就这样充满变数。对于我们一线的教师而言，特别是现在的既追求素质教育减轻学生课业负担、又要有升学率的大环境下，如何用好、用活现有材料，充分挖掘作业题的“潜力”，不断进行适度的变式训练，“变出”味道，让学生的思维在不断地“变”中得到提升和拓展，给了我许多的感受与体会。这就像中医诊断一样：在
8、遇到学生作业中普遍存在的问题的时候，我们如果能够多花一点心思，耐心细致研究一下问题的本质和根源，了解问题的“病根”，依据“病根”“对症下药”，精心组织解决问题所需的材料，循序渐进引导学生清晰了解问题的本质和解决问题的基本思维过程，切实提升学生解题过程中需要的基本思维能力。1、耐心“诊脉”，寻找“病源”本例中的第（2）小题，依据学生原有的认知能力和解题能力，应该是有一部分学生能解决的。为什么学生却没有解决呢？是能力问题吗？显然不完全是。其中一部分的也许没有仔细想，或者没有深入去思考本题的解题思路。当然大部分的学生是真的无从下手。本题的解题思路很简单，作点A（或D也可以）关于直线BC的对称点，连结
9、，利用两点之间线段最短的原理，很简单就解决。从后面的讲解可以知道，至少有一部分学生其实知道如何解决的。所以在讲解这样的问题时，让学生充分暴露其错误的思维过程，耐心“诊脉”，寻找“病源”，为“对症下药”后面的问题的解决铺平道路。2、精心“会诊”，深挖“病根”学生在解答单一问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的阻碍小，产生错误或不会解的可能性小；而遇到综合性问题，则在知识的选取、运用上受到的阻碍大，容易造成困难。本例中，学生无法解决的一个重要原因是没有读懂题意，或者尚未理解该题的本质，从而造成解题障碍。当然另一方面的原因是学生的懒惰心理，认为这题一定很难，所以就连碰也没有去碰就放弃了。认
10、识到学生这方面的“病根”，就需要先解决这方面的问题。笔者通过帮助学生一起回忆以往解决类似问题经验，寻找解决问题的途径。即迁移以往的经验，减轻学生在解题过程中可能发生的思想上的恐惧感。3、果断“下药”，化解“病情”在实际教学中，有些教师只顾及眼前的即时目标，看不到长远目标；只重视微观的细节问题，不懂得从宏观进行调控把握，“一叶障目，不见泰山”。这不得不引起我们的思考，我们的教学到底仅仅是为了当下即时目标的实现，还是更需要着眼于对长远目标的达成呢？本例中，如果就题论题，而没有揭示问题的本质，那么大部分学生很可能下次遇到时无依然无从下手；如果没有进行一系列的变式训练来拓展，那么此题的“潜力”就得不到充分的挖掘，思维训练的效果就很平淡。因此在数学课堂教学中要善于利用教材的例、习题，为学生提供拓展训练的平台，本例通过让学生了解图形与代数式之间可以进行相互转化，发现转化的依据和转化的可靠性，留给学生一个思考和探索的空间，这样可以有效将作业题中的思维训练题和拓展培优辅导相互融合起来，使学生解题的创造性思维得到发展，实现学生数学思维能力的提升。参考文献：1 桂文通一堂建构主义观下的数学课（中学数学教学参考（初中），2008，(10) ）2 陶立红初中数学开放题的编制，（中学数学教与学，2009.2）
