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1、 http:/ 上海高三地理家教不尽的探索无穷的乐趣引例 如图1，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，试判断BOC与A的关系？说明你的理由 图1 解：BOC=90+A 理由：BO平分ABC，CO平分ACB， 1=ABC，2=ACB 1+2=(ABC+ACB) 在ABC中，ABC+ACB=180-A 1+2=(180-A)=90-A 在BOC中，BOC=180-(1+2) =180-(90-A)=90+A 由此我们得到这样一个结论： 结论1：三角形两内角平分线的夹角等于第三个内角的一半的余角的补角 如果把题目中的内角平分线，改为外角的平分线，那么BOC与A的关系又如何呢？ 探索一：如图
2、2，ABC的外角CBM、BCN的平分线相交于点O，试判断BOC与A的关系？说明你的理由 图2 解：BOC=90-A 理由：BO平分CBM，CO平分BCN， 1=CBM，2=BCN 1+2=(CBM +BCN) CBM=180-ABC，BCN=180-ACB， CBM +BCN=360-(ABC+ACB) =360-(180-A)=180+A 1+2=(180+A)=90+A 在BOC中，BOC=180-(1+2) =180-(90+A)=90-A 说明：在计算CBM +BCN时，也可利用三角形的外角性质，即CBM=A+ACB，BCN=A+ABC，所以CBM +BCN=(A+ACB+ABC)+A
3、=180+A 为了利用结论1，本题也可以这样说明理由： 如图3，分别作ABC和ACB的平分线BP和CP，BP和CP相交于点P，根据“一对邻补角的平分线互相垂直”(此结论留给同学们自己探索)，可得PBO=90，PCO=90又四边形PBOC的内角和等于360，所以BOC=360-90-90-BPC=180-BPC 图3 利用结论1，可得BPC=90+A 所以BOC=180-(90+A)=90-A 由此我们得到这样一个结论： 结论2：三角形两外角平分线的夹角等于与这两外角不相邻的内角的一半的余角 以上分别是两内角平分线与两外角平分线相交的情况，如果是一内角的平分线与一外角的平分线相交，结果又会如何呢
4、？ 探索二：如图4，在ABC中，内角ABC的平分线与外角ACD的平分线相交于点O，试说明BOC与A的关系？说明你的理由 图4 解：BOC=A 理由：BO平分ABC，CO平分ACD， ABC=21，ACD=22 又2是BOC的外角， 2=1+BOC，即BOC=2-1 又ACD是ABC的外角， ACD=ABC +A，即A=ACD -ABC A=22-21=2(2-1)=2BOC BOC=A 为了利用结论1，本题也可以这样说明理由： 如图5，作ACB的平分线CP交BO于点P，利用结论1可知BPC=90+A根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知PCO=90又BPC是PCO的外角，所以BPC=BOC+B
5、PC，即90+A=BOC+90BOC=A 图5 为了利用结论2，本题也可以作ABC的外角平分线与CO的反向延长线相交于点P(如图6)，易证CP是ABC的外角BCE的平分线，根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知PBO=90又由结论2可知BPC=90-A，所以BOC=180-PBO-BPC=180-90-(90-A)=A 图6 同学们，阅读此文，你是否有一种沉浸在不尽的探索和喜悦之中，在探索的过程中，我们又利用探索出来的结论(或者叫做我们的小发明或小创造吧)去探索新的结论，你是否有一种小小的成就感呢？ 有人算过这样一笔帐，一只蜜蜂要酿出一公斤蜂蜜，需要来回飞行大约三十万公里，吸吮大约一千二百万个
6、花朵的液汁每次采集回来，还需要把液汁从胃里吐出来，由另一只蜜蜂吸到自己的胃里，如此吞吞吐吐一百二十次到三百四十以次，液汁才成为蜜汁，并最终变成浓稠的蜂蜜 由此可见积累的重要性，学习数学也需要积累数学解题能力的提高，需要积累丰富的解题经验，并适当记住一些简洁的结论，可以快速抓住问题的本质，简化思维过程，提高解题效率 快乐体验： 1如图7，BD平分ABC，CD平分外角ACE，A=70，求D的度数 图7 2如图8，BD平分ABC，CD平分ACB，A=70，求D的度数 图8 3如图9，BD平分CBE，CD平分BCF，A=70，求D的度数 图9 4如图10，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=(提示：先证AP是ABC的外角平分线) 图10 参考答案：135；2125；355；450http:/ 10年专注，8万上海家长首选朗朗家教网！
