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1、数学教学实习教学实习教学实习63一、教学名称排列二、教学目标使学生理解并掌握排列、排列数的概念，排列数的公式，并能运用这些知识解决一些简单的应用题。通过对排列知识的学习和解排列应用题，学会分析问题的方法并提高计算能力和解决应用问题的能力。三、重点、难点【重点】解有关排列的应用题主要是把“元素”“排列”“排列数”这三个概念灵活地运用到具体问题里去，要通过典型例题来分析解题步骤，即先看问题能不能归结为排列问题，再看是否有限制条件，然后考虑直接计算法或间接计算法。【难点】排列问题中有些限制条件是明显的，但的比较隐蔽，要理解题意，防止重复或遗漏，用不同的方法去解同一个问题，不仅可以开拓思路，提高分析问
2、题的能力，还能起到核对答案，避免出现差错的作用。四、教学方法讲解法和习题法五、教学工具：课本，粉笔六、教学过程：、复习引入1.分类计数原理和分步计数原理及其区别(“分类”、“分步”完成一件事)2.用分步计数原理计算下问题.某学校从3名同学中选出两名参加某活动，上午一名，下午一名，请问有多少中选派方法？（每人只能选派一次）问题分析:分2步完成,第1 步,确定参加上午活动的同学,有3种方法;第2步,确定参加下午活动的同学,有2种方法,根据分步计数原理,共有32=6种方法.、新课 1.排列和排列数的概念从以上两个实例的结果中,引出排列和排列数的概念排列：一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,
3、按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数.注意:1)排列定义中包括:a.取出元素,b.按照一定顺序排列.因此,两个排列相同,必须它们的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2)排列和排列数是两个既有联系又有区别的两个概念.3)排列数的表示：2.排列数公式的推导提问:从n个不同的元素中取出2个元素的排列数是多少? 呢?分析:求化归为从n个元素中任取2个填入排好顺序的2个空位.分两步进行:第1步,填第1个位置的元素,有n中方法;第2步,填第2个位置的元素,有(n-1
4、)种方法.根据分步计数原理共有n(n-1)种方法,从而.求(仿求的方法)得，求出、后,第1位第3位第2位第2位第1位第1位第2位第3位第m位用同样的方法,求， 所以得到公式: 这里,且,这个公式叫做排列数公式.公式特点:左边第一个因数是,后面的每个因数都比它前面一个因数少1,最后一个因数为,共有个因数相乘.例题:（加深对公式的掌握与理解）1)若,则 , .(17,14)2)若,则用排列数符号表示为 .()3)若,则 .( 8 )例 写出从A,B,C,D四个元素中任取两个元素的所有排列.分析:如何不重不漏地写出所有的排列树图.由,的意义导入新课.3.全排列、阶乘的概念一般地,个不同元素全部取出的
5、一个排列,叫做个不同元素的一个全排列.这时在排列数公式中,即有 正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示,所以.问题:与相等吗?与呢?2.排列数的另一个公式的推导由已经学习果的排列数公式 = 得公式 注意:(1)为使此公式在时也成立,规定0!=1;(2)此公式的作用,一是当、较大时,可从计算器上直接按出相应阶乘数,计算较方便;二是当对含字母的排列数的公式进行变形、讨论时,用这种形式相互转化.例1：(1)证明: (2)解方程或不等式: ( 5; 8 )例2：某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每对都要与其余各队在主，客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？（课本P88例2）1）2个足球对之间进
6、行比赛,要进行几场比赛?(与顺序无关,1场比赛)2）2个足球队之间在主、客场分别进行比赛,要进行几场比赛?(与顺序有关,2场比赛)分析:本题转化为排列问题,它是与两队的顺序有关的问题,所以比赛的场数,对应于从14个元素中任取2个的一个排列,即场.例如: 1.某段铁路上有12个车站,共需要准备多少种不同的车票?2.车上有7个座位,5名乘客就座,有多少种就座方式?(排列问题)3.四个同学,争夺3项竞赛冠军,冠军获得者的可能种数有多少?(不是排列问题,用分步计数原理有444=43种)4.有关排列问题的一些运用（可分为两大类）1）无条件限制的排列问题解题关键:(1)确定该题是否为排列问题;(2)正确地
7、找出,的值;(3)准确地运用两个基本原理.例1：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面，2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号呢？ (教材89页例4)解:信号可分为三类,第一类:挂1面旗的信号有种;第二类,挂2面旗的信号有种;挂3面旗的信号有种,根据分类计数原理,共有信号+=15种.引伸:由1,2,3,4这4个数字可组成多少个无重复数字的正整数?分析:把所要排的正整数分为三类:一位数有个,二位数有个,三位数有 个,四位数有个,根据分类计数原理,共可组成无重复数字的正整数的个数为+=64个.例2：（l）有5本不同的书，从中选3
8、本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？解：（l）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法种数是（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种不同的方法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是555125例3：10个人走进放有6张椅子的屋子,若每张椅子必须且只能坐一个人,问有多少种不同的坐法? ( )指出:在这一类问题中有两种不同的对象:人和椅子.一般处理的方法是:把其中某一种对象(数量较多的)作为元素,另一种对象作为位置.例如:(1)在7本不同
9、的书中任选5本借给5名学生,每人必须且只能借1本,问有多少种不同的借法?(2)6个人走进放有10张椅子的屋子,若每张椅子必须且只能坐一个人,问有多少种不同的坐法?2）有限制条件的排列问题这里所说的限制为:某位置不能排某元素,或某元素只能排在某位置等.这一类问题常用的不同解法有:(1)特殊位置先排;(2)特殊元素先排;(3)排除法.例3、 (教材第93页例5)用0到9这10个数字可组成多少个无重复数字的三位数?百 位个 位十 位分析:本题中有一个限制元素“0”,有一个受限位置“首位”,因此我们应从限制条件出发去考虑.解一:(特殊位置先排)先画出数字框图.(1)受限位置百位上的数字有几种排法?(种
10、)(2)十位、个位上的数字又有几种排法?(种或种)(3)本解法中数字的组成是分类完成还是分步完成? (=648个)解二:(特殊元素先排)根据受限元素0出现的位置把符合条件的三位数分成3类(如下框图),由分类计数原理,共有不同的三位数+=648个.百 位 0十 位百 位个 位十 位百 位个 位 0解三:(排除法)从0到9这十个数字中任取3个数字的排列数为,其中0在百位上的排列数为,故所求的三位数的个数为-=648个.注意:用排除法解题时,特别要注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏.例如:(1)7个人排成一排拍照留念,其中甲不站在中间也不站在两端,问有多少种不同的排法? (或或种)(2)由数
11、字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,其中小于5000的偶数共有多少个? (或个)七、本节小结:1.注意弄清分类计数原理和分步计数原理的区别:分类时,每类中的任一种方法都可独立完成事件;分步时,必须依次完成所有步骤才能完成事件.2.解有限制条件的排列应用题时,通常可从特殊元素和特殊位置入手分析,或用排除法,解题时可根据具体情况灵活运用.3.全排列、阶乘的意义,排列数的阶乘形式.4.解决排列问题的一般思路:(1)把问题分步来完成,用分步计数原理求解;(2)转化为求排列数问题来解决.5.排列的定义中包含下列两个基本内容(1)选元素从n个不同元素中取出m(mn)个元素,要注意被取的元素是什么?
12、取出的元素是什么?即明确m,n.(2)排顺序将取出的m个元素按照一定顺序排成一列,是排列问题的基本属性.6.如何写出符条件的所有排列:一般先分类,后分步,用画树图的方法,逐一写出所有的排列.本节课我们学习了有关排列的一些基础知识和运用这些知识解决排列应用题的一些解题方法，在以后的解题运用过程中，我们应该要综合运用这些方法，结合分类讨论思想和变化的思想来处理这一系列的问题。排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时应从元素或位置出发去分析，结合框图去排列，同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用。 八、练习题（补充讲解练习题）1)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相
13、邻的偶数有_个(用数字作答)解析：个位数字是2或4，若个位是2，则十位数字必须是3，共有个；若个位是4，则将2,3作为一个整体，与1,5进行排列，共有2个所以总共有218个2)5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? (要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.)3)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的奥运宣传广告，1个公益广告要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，2个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的
14、播放方法有_108_种解析：分三步：第一步，安排3个商业广告，有种不同的方法；第二步，从奥运宣传广告与公益广告中选择1个安排在最后一个播放，有种不同的方法；第三步，把剩下的两个广告安排到3个商业广告分成的与第二步安排的广告不相邻的3个空位中，有种不同方法，所以共有108种方法4）4辆不同公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？（ ）5）一条铁路原有n个车站，为适应客运需要，新增加了m个车站，客运 车票增加了62种，问原有多少个车站，现有多少个车站？（ ）即n+m0(n+m-1)-n(n-1)=62 可得m=2,n=15.九、课后作业教材p90 第一题，第二题，第三题。 1
