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1、无穷级数-可编辑修改-1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即:SnlimnUk存在，称级数收敛k 12若任意项级数 Un收敛,n 1Un发散，则称 Un条件收敛,n 1n 1若 Un收敛,n 1则称级数Unn 1绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。1发散，而 1 1k 10收敛2.任何级数收敛的必要条件是lim Un 0 n3.若有两个级数 Un和Vn，UnS, V.n 1n 1n 1n 1则(Un Vn )n 1S，UnVnS。n 1n 1 Un收敛，n 1Vn发散，贝U（Un Vn）发散。n 1n 1若二者都发散，则（Un Vn）不确定，如 1,n 1k 1 k 14 三个必须记
2、住的常用于比较判敛的参考级数:n旦，收敛,|ar1 rn 0发散，r 1r 11收敛，p 1n 1 np 发冃攵，p 11收敛，p 1n 2 nlnp n发冃攵，p 1a）等比级数:b）P级数：c）对数级数:5.三个重要结论 （务an 1）收敛 lim an存在正项（不变号）级数 a.收a； 收,n 1n1ab I反之不成立，a；和 bn都收敛anbnl收， 或 收 nn6.常用收敛快慢正整数连续型7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法lim Un 1nUn1,收1,发（实际上导致了 lim n 0）n1,单独讨论（当n为连乘时）l2.柯西根值法| lim l ll1,
3、收1,发（当n为某n次方时）1,单独讨论3.比阶法代数式UnVnVn收敛n 1Un收敛，Un发散Vn发散n 1n 1n 1极限式lim也 A，其中：Un和 Vn都是正项级数n Vnn 1n 1?A 0 un是Vn的高阶无穷小unVnVn收敛n 1un收敛，un发散n 1n 1Vn发散。?A 0un 是 Vn的同阶无穷小unkVn山和 Vn敛散性相同。n 1n 1?AVn 是 un的高阶无穷小Vnunun收敛vn收敛，vn发散un发散n 1n 1n 1n 1n 1un2 ，n?unjdx0 1 X21，也可选用基准级数n21n 12n2就可知原级（1）nUn收敛n 0则不一定收敛还8、任意项级数
4、的敛散性的判据与常用技巧莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例）lim Un 0Un Un 1 11n这是一个必要条件，如果不满足，则（1）nUn必发散，若只有不满足,n 0是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散任意项级数判敛的两个重要技巧:a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。b k阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法,9.幕级数an(x Xo)nn 01 .阿贝尔（Abel ）定理如果级数 anxn当x x0 x0 0,因为x0=0anx2 0显然收敛点收敛，则级数在圆n 0n 1
5、域x x|内绝对收敛；如果级数anxn当x X1点发散，贝U级数在圆域X 冈外发散。由阿n 0贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幕 级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除x X。x0 0夕卜，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幕级数的关键。如推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确n 0定的正数R存在，使得：当x R时，幕级数绝对收敛；当x R时，幕级数发散；当x R与x R时，幕级数可能收敛，也可能发散，我们称 R为 Kxn的收敛半径。n 110 .幕级
6、数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知 an（x X0）n，若Hm n 1或”m n an ;则根据比值判敛法有:n 0anlimnan 1anXoX X1收敛X X丄 R= lim收敛nan+1anOi ilim收敛半径R : RR全平面收敛，R 0只有一个收敛点x 0,0=0 。收敛区间X。R,x0 R :级数在x X)Rx x0 R, x0 R收敛；幕级数的收敛区间是非空点集，对 an (xn 0X)n至少在xX。处收敛，对 OnXn至少在x 0处收敛。由阿贝尔n 0定理可以推出：幕级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点收敛域：由于级数在收敛区间的端点上(收敛半径R上)收敛性待定，故收敛域是X
7、0 R, X0 R、 X0 R, X0 RX0 R, X0 R或X0 R, X0 R四种情况之一。3 .在收敛区域内的性质(1)OnXn的和函数f X连续并有任意阶导数;n 0(2)可逐项微分n 0f (x) (anXn)nanXn 1n 0n 1(3)可逐项积分n 0x0 f(x)dxX(0 OnXndX)n 0an n 1Xn 0 n 1(4)anXn绝对收敛n 011 .利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数-泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项(包括拉氏余项，佩亚若余项)为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论(1,1)1丄1 u1)1,1)eunu0 n! sin u1)n2n 1
8、u(2n 1)! cosu1)12n 1 n u(2n)! ln(1u)In 21)n1n(1,1(1 u)(1)( n!Cnuu ( 1,1) tan un2n 1u2n 1 arcta nun 2n 1(1) un 0 2n 11,1nnxn 1ln(1 x)1$ n!1e n 0 n!5.幕级数求和方法 函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法构造辅助幕级数法。付立叶级数1 周期函数展开成付里叶级数? f(X)为在 I,l上周期为2I的周期函数，则f(x)a。(an cosn2 n 1Ix bnsinfx),其中an
9、bn1 I1I|nf (x)cos xdx InxdxIIi f (x)sin?特别地，当If(x)ao2(an cos nxn 1bnsin nx)其中anf (x)cos n xdxbnf (x)sin nxdx?当f (x)是偶函数f (x) 1 aon an cos-n 1f(x) 2aoanof(x)co咛dXan cosnxn 1an2 0 f (x)cos nxdx?当f (x)是奇函数f(x)bn sin 1I0 f (x)sin dxf (x) bn sin nxn 1bn0 f (x)sin nxdx2 非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f x只是定义在区间0,0
10、,，两种区间可以令t 7x相互转换,为了利用付里叶级数展开，必须将f x拓展,其方式有两种，即:f (x)0 x I(1)偶拓展令F(x)f()x)I x o，使 F(x)成为上的周期偶函数，展开后取0 x l上的函数值即为f x的付里叶展开。f (x)0 x l(2)奇拓展 令F(x)，使F(x)成为I, I上的周期奇函数，展开后f( x)I x 0取Ox I上的函数值即为f x的付里叶展开。3 狄利克雷收敛定理设函数f x在I, I上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点,则f x的付里叶级数收敛。并且:f x ,当x为连续点a0S x(ancos nx bn sin nx)2n 1f x 0 f x 0当X为第一类间断点2f I 0 f I 0当xI为区端点2THANKS !致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考
