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1、一 求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1。函数的定义：设集合 A 和 B 是非空数集，按照某一确定的对应关系 f ， 使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。 则称 f ：为 A 到 B 的一个函数。2. 由定义可知： 确定一个函数的主要因素是确定的对应关系 (f ) , 集合 A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x )的取值范围y | y=f (x) ,xe A.3. 定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的 是：( 1 )自变量放在一起构成的集合，成为定义域。( 2 )数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特
2、殊的一个个的数时用“列举法 ；一般表示范围时用集合的“描述法 或“区间 来表示 .4。值域：是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果, 是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。(1)明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：y|y=f (x), xeA。(2 )明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合 B.二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1 已知函数解析式时： 只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。( 1 )常见要是满足有意义的情况简总：表达式中出现分式时： 分母一定满足不为0；表达式中出现根号时: 开奇次方时, 根号下可以为任意实
3、数; 开偶次方时，根号下满足大于或等于0( 非负数 ) 。表达式中出现指数时： 当指数为 0 时，底数一定不能为 0.根号与分式结合 , 根号开偶次方在分母上时： 根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x, 必须满足指数底数大于 0 且不等于 1 。 ( 0底数1; 底数 1)表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可; 自变量同时出现在底数和真 数 上 时 , 要 同 时 满 足 真 数 大 于 0, 底 数 要 大 于 0 且 不 等 于21.( f (x) logx(x 1)注： ( 1) 出现任何情形都是要
4、注意, 让所有的式子同时有意义, 及最后求的是所有式子解集的 交集 。( 2 ) 求定义域时， 尽量不要对函数解析式进行变形， 以免发生变化。 (形2如: f (x) x2。抽象函数(没有解析式的函数)解题的方法精髓是“换元法，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围.总结为：(1 )给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；(2)在同一个题中x不是同一个x;(3)只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。(4)求抽象函数的定义域个关键在于求f (x)的取值范围，及括号的取值范围。例1:已知f (x+1)的定义域为1, 1,求f (2x-1 )的定
5、义域。解：.f (x+1)的定义域为-1 , 1;(及其中x的取值范围是-1 ,1) . 0 x 1 2 ;(x+1的取值范围就是括号的取值范围) .f (x)的定义域为0,2 ; (f不变，括号的取值范围不变) .f(2x-1)中0 2x 1 21 3x 2 213f(2x-1 )的定义域为x|-x-223。复合函数定义域复合函数形如：y f(g(x),理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式.例2.若函数f(x)的定义域为(2,3), g(x) f(x 1) f (x 2), 求g(x)的定义域。分析：由题目可以看出 g (x)是由y
6、=x+1、y=x-2和y=f (x)三个函数复合起 来的新函数。此时做加运算，所以只要求出 f (x+1)和f (x2)的定义域， 再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1 )和f(x-2 )的定义域的交集即可。解：由f (x)的定义域为(-2 , 3),则f (x+1)的定义域为(-3,2 ) ,f(x 2)的定义域为(0,4);3x2,解得0Vx 20x4所以，g (x)的定义域为(0,2).(二)求定义域的典型题1.已知函数解析式1.一；(3) f(x)x 2 3X2 1X 1 ;(1)求下列函数的定义域10f(x)X 4 ) f(x)(x 1)X 2.2112 f(x
7、) (x 勤；(5)f 10g 2(x / f 2 L(2)求下列函数的定义域(1)f(x)1g(x 2)逃修;(2) f(x),1 2xT x 2x 1 f(x) ;(4) f(x)1 log 1 x:2(3)与函数定义域有关的问题题若函数f (x)x 422x (2 m 1)x m的定义域为R,求实数m的取值范围。函数y Jkx2 2kx k 6的定义域为R,求k的取值范围。函数f (x) Jmx26mxm8的定义域为 R,求m的取值范围。2 .求抽象数定义域1若函数f(x )的定义域为(一2, 6),求f(1x 1)的定义域。若数f(x)的定义域为0,2,求函数g(x)上(2的定义域。x
8、 1 1若数f(x 1)的定义域为-1,2,求函数g(x) f(x 2)11 的,3x 7定义域. 1右函数 f (x)的止义域为0,1, g(x) f (x a) f (x a),( a -),2求函数g (x)的定义域.右 f (x) loga(x 1),g(x) loga(1 x), (a 0,且a 1),令F (x) =f (x)-g(x),求 F (x)的定义域。二、求函数值域(一)求函数值域方法和情形总结1 .直接观察法(利用函数图象 )一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。2 .配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位
9、置，在定义域范围内(以 a0为例)，此时对称轴的地方为最大值，定 义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：(1)含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论 a; (2) a不为0时，讨论开口方向；(3)注意区间， 即讨论对称轴。例1：求f(x) x2 4x 6在1,5上的值域.解：配方：f (x) (x 2)2 2f(x )的对称轴为x=2在1,5中间ymin f (2) 2(端点5离x=2距离较远，此时为最大值)ymaxf(5) 11所以,f (x)的值域为2,113。分式型(1)分离常量法： 应用于分式型的函数，并且是自变量
10、 x的次数为1,或 是可以看作整体为 1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为y a d.bx c例2:求f(x) 5的值域.4x 24X5-由于分母不可能为 0,则意思就是函数值不可能取到5 ,45即：函数f(x )的值域为y |y 5。4跟踪练习：已知f(x) ax2 4(a 1)x 3(x0,2)在x=2处有最大值，求a的取值范围.1,2(2)利用x2 0来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现x2形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法(有界变量法)。一3x2 1 例3：求函
11、数f (x) 3x1的值域. x2 22解：由于x 2不等于0,可将原式化为yx2 2y 3x2 122即(y 3)x1 2y (由于 x 0)只需y 3,则有x21 2y 01- y 3) ( 1 2y) 0y 3 ，一 一1所以，函数值域y -,3 2(3)方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现x2混合，此时不能化为分离常量 ，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法 .2x例4:求函数y 的值域x 1解：由于函数的定义域为R,即X2 1 0原式可化为yx2 2x y 0(由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个 x会使得上述方程有实数根，即
12、方程有根那么判别式大于或等于0,注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少)所以， 4 4y2 0所以，函数值域为y 1,1跟踪练习：求下列函数值域(1) y(2) y1 x2(3)y 1 x2(4)yx 2x2 3x 610g 3 mX2 2 8x n的定义域为x 1R,值域为0,2，求常数m, n的值(m=n=5)4.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式 ，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问 题.而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重 换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5:求函数f(x) 2x /二的值域解：令t0,则x t2 1,带入原函数解析式中得221 215y 2(t2 1) t 2t2 t 2 2(t)248因为，t 0一 一一15所以，函数的值域为y .8 ,跟踪练习：求下列函数的域C) y 2sin2 x 3cosx 1 (2 ) y 2x 1 4x1(3) y sin x cosx sin xcosx ,(令 t= sinx cosx)(4) y x 4 v9x2,(令x=3cos (0,)
