函数提高辅导

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1、21、已知集合是同时满足下列两个性质的函数的全体：在其定义域上是单调增函数或单调减函数；在的定义域内存在区间，使得在上的值域是（）判断函数是否属于集合？并说明理由若是，请找出区间；（）若函数，求实数的取值范围22、已知函数单调递增，在1，3单调递减. （1）求b、c之间的关系式； （2）当时，是否存在实数m，使得在区间上是单调函数？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.21、解：（）的定义域是，在上是单调减函数 则在上的值域是由 解得：或（舍去）或（舍去）函数属于集合，且这个区间是 （）设，则易知是定义域上的增函数，存在区间，满足，即方程在内有两个不等实根 法一：方程在内有两个不等实

2、根，等价于方程在内有两个不等实根即方程在内有两个不等实根根据一元二次方程根的分布有 解得因此，实数的取值范围是 法二：要使方程在内有两个不等实根，即使方程在内有两个不等实根如图，当直线经过点时，当直线与曲线相切时，方程两边平方，得，由，得因此，利用数形结合得实数的取值范围是22、解：（1） （2），其增区间为若存在m，则有 这与式矛盾，不存在实数m.17（本题10分）函数 对一切实数均有成立，且，（1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围 答案：（）；（）例4、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）

3、 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3） 证明：f(x)是R上的增函数；（4） 若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。分析：（1） 令a=b=0，则f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2） 令a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10 当x0，f(-x)0 又x=0时，f(0)=10 对任意xR，f(x)0（3） 任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4） f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f

4、(x)在R上递增 由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x319、 设0a3；（2） 求a的取值范围。20、3、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意x1，x20，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(1)a0.()求f()及f()；()证明f(x)是周期函数；()anf(2n)，求(1nan).解析：x1，x20，都有f(x1x2)f(x)f(x2)，f(x)=f()f()0，x0，1f(1)=f(+)=f()f()f()2f()=f(+)=f()f()=f()2，f(1)=a0，f()=a ，f()=a(2)依题设y=f(x)关于直线x=1对称，f(

5、x)=(1+1-x),f(x)=f(2-x)又f(-x)=f(x),f(-x)=f(2-x),f(x)=f(2+x), f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期 (3)x0，满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，I2n(nZ)f(x12n+x22n)f(x12n)，f(x22n)，x1，x2在2n，2n中也满足f(x1x2)f(x1)f(x2)又f(1)=f(1)f(0),f(0)=1，f(2n)=1又f()=，又f()a，f()aanf(2n)f()a(lnan)()08.已知函数（1）若a=1,求方程的解构成的集合；（2）若函数存在最大值m,且函数取得最大值n时，函数取得最大值m，求

6、a的取值集合；（3）若a为非负常数，试讨论方程的根的个数。4 若有最大值和最小值，求实数的值 解：令，对称轴为当时，是函数的递减区间，得，与矛盾；当时，是函数的递增区间，得，与矛盾；当时，再当，得；当，得 1已知函数有最大值，试求实数的值解：，对称轴为，当，即时，是函数的递减区间，得与矛盾；当，即时，是函数的递增区间，得；当，即时，得； 4 设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值 解：令，则，对称轴， 当，即时，是函数的递增区间，；当，即时，是函数的递减区间， 得，与矛盾；当，即时， 得或，此时 例3、 已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析

7、式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。解：(1)(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，于是 即 （3）.设，则.问题转化为：对恒成立. 即 对恒成立. （*）故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：.此时，故在取得最小值满足条件.10、(四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（）求的值；（）解关于x的不等式：，其中

8、解：(1)由f(mn)f(m)n得：f(0)f(00)f(0)0函数f(x)的图象均在x轴的上方,f(0)0,f(0)13分f(2)f(12)f(1)24，又f(x)0f(1)2,f(1)f(1)23分(2)又当时，其导函数恒成立，在区间上为单调递增函数当时，；当时，；当时，综上所述：当时，；当时，；当时，。12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数满足下列条件：函数的定义域为0，1；对于任意； 对于满足条件的任意两个数 （1）证明：对于任意的； （2）证明：于任意的； （3）不等式对于一切x0，1都成立吗？试说明理由. （1）证明：对于任意的即对于任意的 5分 （2）证明：由已知

9、条件可得所以对于任意的 10分 （3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件， 任意取两个数即不等式 13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”.

10、 3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数” 4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分（III）的最大值为 9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得

11、如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为14、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点如果函数有且仅有两个不动点、，且（）试求函数的单调区间；（）已知各项不为零的数列满足，求证：；（）设，为数列的前项和，求证：解：（）设 由 又 3分 于是 由得或； 由得或 故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和 4分（）由已知可得， 当时， 两式相减得或当时，若，则这与矛盾 6分于是，待证不等式即为为

12、此，我们考虑证明不等式令则，再令， 由知当时，单调递增 于是即 令， 由知当时，单调递增 于是即 由、可知 10分所以，即 11分（）由（）可知 则 在中令，并将各式相加得 即15、(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数f（x）的定义域为x| x k，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 x 0（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f （x）在2a，3a 上的最小值和最大值解：（1）定义域x| x k，kZ 关于原点对称，又f（- x） = f （a - x） - a= = = = = = - f （x），对于定义域内的每个x值都成立 f（x）为奇函数-