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1、实验一 观察数列的极限极限是高等数学中最基本的概念之一，初学者往往理解不够准确。本实验目的就是利用数学软件Mathematica加深对数列极限概念的理解 。对于数列极限通俗的说法是：当充分大时，充分接近数A，则。我们通过利用数学软件Mathematica来计算数列足够多项的值，从而考察数列的极限。例1 用数、形结合的方法观察极限。解：通过逐渐增加点并画点图，来观察当n越来越大时的变化趋势。其Mathematica语句为：运行后得到了16幅图，图1-1中列出了其中的4幅，从左至右图中点数逐渐增多，从图中可以看出所画出的点逐渐接近于直线。 图1-1为使图形更加生动，我们还可以用鼠标选定这些图形后进
2、行动画演示（即选定这些图形后再同时按“Ctrl”和“Y”键）。例2 设数列与由下式确定：，观察数列与的极限是否存在。解：输入以下语句可进行观察，此程序的功能是输出与的前10项数值。大家可改变For循环中终结语句（）来改变输出项的项数。运行该程序可得： 大家可以由运行结果可观察到，与均有极限，且这两极限值是相等的。实验习题11、 根据上面的实验步骤，通过作图，观察重要极限：。2、 设数列由下列递推关系式给出：，观察数列的极限。实验二 一元函数图形及其性态 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性
3、态，建立数形结合的思想。例1 给定函数（1）（2）（3）在同一坐标系下画出以上三个函数的图形。解：输入命令如下：在上面的程序中，命令“Plot”的选项“PlotStyleRGBColora,b,c”是指选用颜色绘图，其中a,b,c为介于0，1之间的数，若a,b,c选择1,0,0、0,1,0、0,0,1，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。运行后输出结果如图2-1所示： 图2-1例2 制作函数的图形动画，并观察参数p对函数图形的影响。解：输入命令如下：此命令输出了6幅图，参数p是从1到3以为步长的选择，从这些图中可以很明显地看出在第一象限参数p对函数的影响。为了图形演示更加生动，我们可以对这些图形
4、进行动画演示。例3 绘出函数以及的图形，并找出所有的驻点和拐点。解：首先，我们不妨将的自变量显示范围定为，则输入如下命令： 图2-2为了利于观察一些特殊点的位置，我们选择了选项“GirdLinesAutomatic”使图形的坐标平面上出现了网格线，而且这时Mathematica将自动选择相应的的显示范围为（如图2-2）。图中的曲线差不多是函数图形的“全貌”。从图形中可以看出为函数的零点，单调性在附近改变，而且在附近曲线凸向似乎有所改变。总之，由函数的图形我们只能近似地判断出一些信息，那么这些印象是否属实呢？为了证实这些印象，我们利用下面的Mathematica语句来加以验证：运行后，绘出了的一
5、阶导函数和二阶导函数的图形（如图2-3），从图中可以分别观察出，有三个零点，且均为的极值点；有三个零点，且均为的拐点。为了具体求出这些极值点和拐点，下面我们可以利用解方程的命令“Solve”来求解和的实根，输入命令为： 图2-3 运行后可得到这两个方程的解为：。 这样我们利用Mathematica并同时结合函数微分学的知识找出了一些关键点，从而对函数的图形就有了真实全面的了解。实验习题21、 制作函数的图形动画，并观察参数对函数图形的影响。2、 已知函数，作出并比较当分别取-1,0,1,2,3时的图形，并从图上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及渐近线。实验三 泰勒公式与函数逼近一个函数若
6、在点的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式，当很小时，有 ，其中，称为在点处的n阶泰勒多项式；为余项。下面我们利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。例1 （泰勒公式的误差）利用泰勒多项式近似计算。若，要求误差。解：我们根据拉格朗日余项可得，欲使，只要取即可。下面的Mathematica语句利用函数的5阶泰勒多项式来近似计算的值，并判断误差：输出结果为：输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果中可以看出，当，其误差。例2 （观察阶数n对误差的影响）利用函数的n阶多项式计算e的值，并求误差。（n=5,6,7,8,9,10）解
7、：为此，我们输入Mathematica语言如下：输出结果为：从结果中可知，阶数越高，误差越小。例3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察的各阶泰勒展开的图形。解：（1）固定，观察阶数的影响。因为在处的偶数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数及它的阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下：上述语句中的函数“PrependTot,Sinx”是表示把函数添加到表t中。运行后得到图3-1。 图3-1为了使图形比较更加生动，下面我们作出和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较图，并且在图中红色曲线表示函数的图形，蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如下：运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观察到
8、泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况，显然在范围内，第五幅图中两个函数的图形已经基本上吻合了，也就是说，的9次多项式与函数几乎无差别。 图3-2（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数的逼近情况。显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的范围由分别改到，并相应增加阶数。故输入如下命令：运行上面程序，绘出了从7阶直至17阶的泰勒多项式与的比较图（图3-3），观察图表可得，在区间范围内，的17次多项式与函数吻合得很好了。 图3-3（3）固定，观察对函数逼近的影响。在下面的语句中，为了方便调用的泰勒多项式，首先定义了的泰勒展开函数tt，然后用不同的颜色在同一坐标系中画出了及的分别
9、在处的6阶泰勒多项式的图形：输出的结果如图3-4所示。图3-4从本实验我们可以得到一些结论，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高，但是对于任一确定的次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。实验习题31、 对重复上面的实验。2、 作出函数的函数图形和泰勒展开式（选取不同的和值）图形，并将图形进行比较。实验四 定积分的近似计算我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却
10、很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分在几何上表示曲线，直线及x轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。1、 观察黎曼和式的收敛性 由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式的极限，因此可以用黎曼和式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，
11、将积分区间等分为段，并以小区间中点处的函数值作近似，于是黎曼和式为：， 因而 。例1 计算的黎曼和。解：输入命令如下：上述命令是将区间2, 3等分为200段，运行求得黎曼和为：1.11842。2、 梯形法大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法梯形积分法。具体方法如下：将区间用等分为n个小区间，小区间的长度为。设，则每个小梯形的面积为，从而得到梯形法的公式为： 。下面来估计梯形法的误差。第个小曲边梯形的面积为，做变换，则，当在区间上连续时，利用分部
12、积分法可以证明：。设为在区间上的最大值，则第个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下： 于是，梯形法的绝对误差为。例2 用梯形法近似计算，要求误差不超过。解：设，则，显然在区间上的最大值为。下面我们根据梯形法利用Mathematica编程，在程序中，定义了等分时的梯形公式，并采用“Do”命令进行循环直到满足精度要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出及。输入命令如下：从运行结果看，循环到100次结束，最后输出“fail”，这表明没有达到精度要求，如把n0的值改为200，再次运行，发现循环到n=130时结束，此时达到精度要求，积分的近似值为：1.11843。3、 抛物线法梯形法的近
13、似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函数段，即逐段地用线性函数来近似被积函数。为了进一步提高精确度，可以考虑在小范围内用二次函数来近似被积函数，这种方法称为抛物线法，也称为辛普森（Simpson）法。具体方法如下：用分点，将积分区间n等分（这里要求n为偶数），各分点对应的函数值为，即。我们知道平面上三点可以确定一条抛物线，而相邻的两个小区间上经过曲线上的三个点，则由这三点做抛物线（因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小区间），把这些抛物线构成的曲边梯形的面积相加，就得到了所求定积分的近似值。下面计算在区间上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。为此，先计算区间上，以过三点的抛物线为曲边的曲边梯形面积
14、：，由得：故。取，则上面所求的等于区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可以得到区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：。于是，将这个曲边梯形的面积加起来，得到定积分的近似值为（设）： 。上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明不超过，其中是在区间上的最大值。例3 用抛物线法近似计算，要求误差不超过。解：设，可由命令Dfx,x,4得到的四阶导函数为： ，显然在区间上的最大值为。下面根据抛物线法的思想利用Mathematica编程，在程序中，与例2一样，定义了等分时的抛物线公式，并采用“Do”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出及。输入命令如下：从运行结果看，循环到时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：1.11843。从例2、例3可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的。最后，我们再说明一点，在Mathematica内部有一个数值积分的命令“NIntegrate”，例如要计算，我们可以调
