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1、16第三节、双曲线一、 定义平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。1、 手工作图。2、 解读定义距离之差的绝对值=。二、 双曲线的标准方程 （必会） 1、 方程与图像的关系哪个变量的系数为正，焦点就在那个坐标轴上。总是在有焦点的坐标轴上。2、 的关系：三、 双曲线的性质1、范围由于双曲线上任一点（x,y）恒有， （如，在处 ）Y可取一切实数。这说明双曲线在两条直线的外侧。2、对称性（1） 以-x代入方程不变，所以双曲线关于y轴对称；（2） 以-y代入方程也不变，所以双曲线关于x轴对称；（3） 双曲线关于x,y轴都对称，自然也关于坐标原点对称。（4） 故坐标原点叫做
2、双曲线的中心。3、 顶点坐标：以方程为例，令y=0,x=,所以双曲线与x轴交于点：（），。（1） 顶点是双曲线的顶点。（2） 实轴叫做双曲线的实轴，实轴长=，是双曲线的实半轴长。（3） 虚轴：在 中令x=0，则这个方程没有实根，说明双曲线与y轴不相交，在y轴上取两点则叫做双曲线的虚轴。虚轴长=2b，b是双曲线的虚半轴长。且：（4） 焦距：是双曲线的焦距，c是半焦距。4、 渐近线：对应，有渐近线：渐近线方程可由标准方程右边为零时求得。即（）对应，有渐近线5、 离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫双曲线的离心率。即 ，6、准线方程：（1）准线平面上动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为e（离心率
3、）.则此直线叫做双曲线的准线。（2）准线方程：焦点在x轴上时准线方程：焦点在y轴上时准线方程：四、 确定双曲线的条件：（必会）1、 确定中的任意两个参数及焦点所在的坐标轴，双曲线便确定。2、 三个重要关系：（1）、； （2）、（3）、双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值=。五、等轴双曲线当时：渐近线方程是;,半焦距是：本节小结1、 重点：（1）标准方程与图像；（2）三个重要关系。2、难点：（1）双曲线与直线及椭圆的关系；（2）与双曲线有关的三角问题。六、 解题练习第一类：基础题 （必会题型）（一）、已知方程求参数1、已知双曲线，求：（1）、实轴长；（2）、虚轴长；（3）、焦距；（4）、焦
4、点坐标及顶点坐标。解 先把方程化为标准方程 ，（1）实轴长=； （2）虚轴长=2b=4;（3）,焦距=；（4）焦点坐标，；顶点坐标（-3，0）（3，0）。2、求双曲线的渐近线。解 化为标准方程，渐近线方程是 3、已知双曲线，求，（1）焦点坐标；（2）、准线方程。解 ，。（1）；（2）4、求双曲线的渐近线。解 5、求双曲线的焦点坐标和焦距。解 对原方程进行整理得（1）焦点坐标：（2）焦距=.6求双曲线的离心率。解 ，离心率为练习题：P146 1题（1） （二）已知参数求方程1、已知两定点的距离为12，动点到两定点的距离之差为8，两定点在x轴上，求动点的轨迹方程。解 2、已知双曲线的顶点焦点求双曲
5、线的标准方程。解 3、 已知焦点为，渐近线求双曲线的标准方程。解 双曲线标准方程是或练习题：P146 2题 （1） （2） （3）。（1）解 由椭圆方程双曲线：故，双曲线的方程（1） （2）解 所以双曲线方程是（3）解 由题意所以双曲线方程是。第二类：巩固提高型1、 设和为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，求的面积。解 由题意知， 且，（如图）代入曲线方程得作图可知：（取即可）。2、 求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程，并作出图像。解： 双曲线 3、 已知双曲线，曲线上一点P到的距离为4，求P到的距离。解 4、 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线过点求双曲线的标准方程。解 由
6、点坐标可知，焦点在x轴上，设其标准方程为，将坐标代入得 由（2）得把代入（1）所求标准方程是：练习题：P146 2题 （4）， 3题解：2题、（4）解由题意所以双曲线方程是解： 3题解 由焦点坐标可知：（1）焦点在x轴上；（2）因为是等轴双曲线，设方程为即或模拟题1、（07年高考、第24题）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3，且经过点（-3，8）。求：（1）双曲线的标准方程。（2）焦点坐标和准线方程。解 （1） 则双曲线方程为： 把（-3，8）代入求得：故所求的双曲线方程：（2），所以焦点坐标为（-3，0）和（3，0）准线方程为 2、（试卷四、11题）已知P是双曲线左支上的一点
7、（非顶点），为双曲线的左右焦点，连接，恰好轴于。求的面积。解 由方程知把P点代入方程得 解得&3、（试卷三、15题）若双曲线上一点P到右焦点的距离为8，则P点到左准线的距离是多少？解 由方程可知设P（x,y）,且。由两点距离公式（1）由得代入（1）得解得 因为P到右焦点的距离为8，8C，（若则P点可能在左支双曲线上。）故P在右支双曲线上。又因为左准线方程：P点到左准线的距离4、（08高考24题）已知一个圆的圆心为双曲线的右焦点，且此圆过原点。求：（1）圆的方程；（2）直线被圆截得的弦长。解：因为双曲线的（1） 由题意知圆心坐标是（4，0），半径r=4.故，园的方程（2） 由题意作图：8设直线被圆所截的弦长为，因为直线的斜率为，所以直线的倾角为60度，且圆的直径为8，故：。
