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1、高考向量专题复习1.向量的有关概念:(1)向量的定义:既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:.(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化:与共线的单位向量是.(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。(5)平行向量又叫共线向量,记作:.向量与共线,则有且仅有唯一一个实数,使;规定:零向量和任何向量平行;两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性!(因为有);相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;(6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则;2.平面向量的
2、坐标表示及其运算:(1)设,则;(2)设,则;(3)设、两点的坐标分别为,则=;(4)设,向量平行;(5)设两个非零向量,则,所以;(6)若,则;(7)定比分点:设点是直线上异于的任意一点,若存在一个实数,使,则叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以定比为的定比分点;当分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为.注意:设、,分有向线段所成的比为,则, 在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比.当时,就得到线段的中点公式.的符号与分点的位置之间的关系:当点在线段上时;
3、当点在线段的延长线上时;当点在线段的反向延长线上时;3.平面向量的数量积:(1)两个向量的夹角:对于非零向量、,作,称为向量、的夹角。(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量、,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即.零向量与任一向量的数量积是0,注意:向量的数量积是一个实数,不再是一个向量。(3)在上的投影为,投影是一个实数,不一定大于0.(4)的几何意义:数量积等于与在上的投影的乘积。(5)向量数量积的应用:设两个非零向量、,其夹角为,则,当时,为直角;当时,为锐角或同向;注意:是为锐角的_条件;当时,为钝角或反向;注意:是为钝角的_条件;(6)向量三角不等式:
4、当同向,;当反向,;当不共线;4.平面向量的分解定理(1)平面向量分解定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使成立,我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。(2)O为平面任意一点,A、B、C为平面另外三点,则A、B、C三点共线且.5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的,它是三维空间里具有大小和方向的量,它的坐标表示有x,y,z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似,故在学习空间向量时,可进行类比学习。如,若、三个向量共面,则.同时,对于空间任意一点O,存在,其中_例1.下列命题: 若a与b共线,则存在唯一的实数,使b=
5、a; 若向量a、b所在的直线为异面直线,则向量a、b一定不共面; 向量a、b、c共面,则它们所在直线也共面; 若A、B、C三点不共线,O是平面ABC外一点,若OM=13OA+13OB+13OC,则点M一定在平面ABC上,且在内部;若,且,则 ;若,则它们的夹角为锐角;其中正确的命题有_(填序号)例2.已知向量a,b夹角为3,|b|=2,对任意xR,有|b+xa|a-b|,则|tb-a|+|tb-a2|(tR)的最小值是_例3.如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,A=120,E、F分别是AB、AC上的点,且AE=AB,AF=AC,且,(0,1),且+4=1,若线段EF、BC的
6、中点分别为M、N,则MN的最小值为_例4.已知平面向量a,b,c满足|a|=2,|b|=1,ab=-1,且a-c与b-c的夹角为4,则|c|的最大值为_变式训练:1.已知向量a=(-1,-2),b=(1,),若a,b的夹角为钝角,则的取值范围是_2.在ABC中,|AB|=5,|AC|=6,若B=2C,则向量BC在BA上的投影是_3.如图,在中,已知BAC=3,|AB|=2,|AC|=3,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则|BE|=_4.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB=1,EF=2,CD=3若ADBC=15,则A
7、CBD的值为_5.向量a,b的夹角为120,|a|=|b|=2,|c|=4,则|a+b-c|的最大值为_6.已知O是面上一定点,A,B,C是平面上的三个顶点,B、C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是_(填序号)动点P满足OP=OA+PB+PC,则的外心一定在满足条件的P点集合中; 动点P满足OP=OA+(AB|AB|+AC|AC|)(0),则的内心一定在满足条件的P点集合中; 动点P满足OP=OA+(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(0),则的重心一定在满足条件的P点集合中; 动点P满足OP=OA+(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)(0),则的垂心一定在满足条件
8、的P点集合中;动点P满足OP=OB+OC2+(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)(0),则的外心一定在满足条件的P点集合中;7.已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心,且A=,若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO,则m=_8.(2017全国)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是_9.在中,点A在OM上,点B在ON上,且AB/MN,2OA=OM,若OP=xOA+yOB,则终点P落在四边形ABNM内(含边界)时,y+x+2x+1的取值范围为_ 10.如图,在直角坐标系中,ABC是以(2,1)为圆心,1为半径的圆的内接正三
9、角形,ABC可绕圆心旋转, M、N分别是边AC、AB的中点,的取值范围是_11.如图,已知点P(2,0),且正方形ABCD内接于O:x2+y2=1,M、N分别为边AB、BC的中点当正方形ABCD绕圆心O旋转时,PMON的取值范围为_12.如图,矩形ORTM内放置5个边长均为3的小正方形,其中A,B,C,D在矩形的边上,且E为AD的中点,则(AE-BC)BD= _ 13.(2017浙江)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则( )A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I314.在坐标系中
10、,O点坐标为(0,0),点A(3,4),点B(-4,3),点P在AOB的角平分线上,且OP长度为,则点P坐标为_15.(2017浙江)已知向量,满足,则的最小值是 ,最大值是 16.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,P10,记=,则m1+m2+m10的值为_17.已知向量、满足|=1,|=2,若对任意单位向量,均有|+|,则当取最小值时,向量与的夹角为_(用反三角表示)18.正十二边形A1A2A12内接于半径为1的圆,从、这12个向量中任取两个,记它们的数量积为S,则S的最大值等于_19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1,若P点在正方体的内部且满足AP=34AB+12AD+23AE,则P点到直线AB的距离为_20.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为_1