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1、邯郸学院本科毕业论文题 目 全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学 生 柴云飞指导教师 闫峰 教授年 级 2009级专 业 数学与应用数学二级学院 数学系（系、部）邯郸学院数学系学院（系、部）2013年5月 郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师 闫峰 的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）： 年 月 日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要请单击此处，然后输入中文摘要内容关键词：数学建模竞赛 初等方法 建模方法 微分方程
2、图论 线性规划Commonly used modeling method of the National Mathematical Contest in ModelingChai yunfei Directed by Professor YanfengABSTRACT在此处输入英文摘要内容KEY WORDS：mathematical contest elementary method modeling method differential equations graph theory linear programming8目 录全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨I前言11 初等数学建模方
3、法21.1 走路问题21.2 银行复利问题32 微分方程建模方法52.1 微分方程建模原理和方法52.2 人才分配问题模型73 差分和代数建模方法83.1 Malthus人口模型83.2 线性差分方程的解法94 数据差值与拟合方法104.1 拉格朗日插值法114.2 最小二乘法125 线性规划建模方法145.1 线性规划的一般理论145.2 合理下料问题166 图论建模方法176.1 图论的基本概念和简单的图论模型176.2 最短轨道问题186.3 求最小生成树186.4 模拟退火法原理196.5 应用举例19参考文献21附录22致谢23前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目
4、前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文。赛题一般涉及面宽-有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个比较确切的现实问题。本文将主要介绍一些常用的数学建模方法，包括初等数学建模方法、微分方程建模方法、差分和代数建
5、模方法、数据差值与拟合方法、线性规划建模方法、图论建模方法等。1 初等数学建模方法在数学建模竞赛中，常会涉及到初等数学建模方法。对于一些机理简单的问题，常常应用静态、线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等数学方法或简单的微积分知识即可求解，此类模型称之为初等数学模型。初等数学建模方法很多，有比例关系、状态转移、量纲分析、类比建模等。本章主要列举了走路问题与银行复利问题，问题中涉及到了一些方法，通过这些知识方法的巧妙应用，可以开拓思路，提高分析解决实际问题的能力。1.1 走路问题人在匀速行走时，步行多大最省劲？把人行走时做的功看作是人体重心的势能和两脚运动的动能之和。试在此基础上，建立数学模型并
6、对所得结果进行评价。设人体重M，腿重为,腿长为,步长为，速度为，单位时间内步数为n. 则由已知，人行走时所作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。计算人体重心升高的势能将人的行走简化，设重心升高为h,则当较小时，取泰勒公式展开式前两项，得于是单位时间内重心升高所需势能为计算腿运动的动能如果将行走视为腿（均为直径）绕腰部的转动，则单位时间的动能为E=In其中I为转动惯量，I=l=l为角速度，=，ml.所以E=l=mv=于是单位时间行人行走所作的功为P= E+ E=+这是一个数学模型，问题转化为欲求：x为多大时，P最小。在中，求P的驻点，令=0，解得x=v。由nx=v,得n=若取M:m
7、=4:1,代入且近似取l=1(米)，可得n5,即每秒5步，显然太快了，模型修改：是腿重集中在脚上，人行走所需动能为脚的直线运动的动能，则有=mvn=,其中 =+,同上解得 =3.这比较符合实际。1.2 银行复利问题一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存100元，银行的年利率2，且可以任意分段按复利计算。试问此人5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？试建立数学模型并求解。按月存款和利息时，每月的利息为=记x为第k月末时的养老金数，则由题意得x=100x=100+100（1+）x=100+100（1+）+100（1+） x100+100（
8、1+）+100（1+）五年末养老金为x=100=60000-1元6629.9元当复利和存款按日计算时，记y为第k天的养老金数，则每天的存款额为a=,每天的利率为r=.第k+1天的养老金数量与第k天的养老金数量的关系为y=+ y(1+r)= + y(1+)从第一天开始递推为y=ay=a+a(1+r)y= a+a(1+r) +a(1+r) y= a+a(1+r) +a(1+r)+ a(1+r)=a=-1在5年末时的养老金数为： （5年=5365=1825）y=-1=-16614.68元当存款和复利连续计算时，将1年分成m个相等的时间区间，则在每个时间区间中，存款为，每个区间的利息为,记第k个区间养
9、老金的数目为z,类似与前面分析，5年后养老金为z=60000（元）=60000令m,即得连续存款和利息时，5年后的养老金为：Z=60000=60000(e-1)元6642.08元观察这三种不同情况下复利的计算问题，可以看出，将1年份为m等份，得出的计算公式具有一般性。当m分别取12和365时，就是前两种情况下的计算公式。另外，是m的单调函数，所以计算间隔越小，5年后的养老金数就越多，但不会超过连续存款和计息的极限值。由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存较多的现金而是分批逐渐存入，对投资者的资金周转有利，所以在银行按复利计算时，建议存款者尽量采用小间隔的策略。2 微分方程建
10、模方法在大多赛题中，要直接找出某些量之间的关系往往比较困难，但有时考虑其微小增量或变化率与这些变量之间的关系确是容易的，这种情形下我们常常采用微分关系式去描述其关系。2.1 微分方程建模原理和方法一般来说，任何事变问题中随时间变化发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现。看这样一个问题：有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v注入该容器浓度为c的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型。注意到 溶液浓度=因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化。不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s,t时刻容器
11、中溶液体积为V（t），初始值为V，则这段时间内有 （1）其中，c表示单位时间内注入溶液的浓度，c表示单位时间内流出溶液的浓度，当t很小时，在内 c= （2）对式（1）两端同除以，令0，则有 （3）此即问题的数学模型。它是针对液体溶液变化建立的，但它对气体和固体浓度变化同样适用。实际中，对面许多时变问题都可取微小的时间段去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分建模常用手段之一。通过对上述例子的了解，下面介绍几种常用微分方程建模方法。（1）按实验定律或规律建立的微分方程模型。刺激按摩充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理。此法建模要求建模者有
12、宽广的知识视野才能对耨写具体问题采用某些熟知的实验定律。（2）分析微元变化规律建立微分方程模型。求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型。如上述问题中考察时间微元，从而建立的反应溶液浓度随时间变化的模型。此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型。（3）近似模拟法。在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型。一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析，求解再与实际问题作比
13、较，观察模型能否近似刻画实际现象。近似模拟法建模思路是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型2.2 人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t年教师人数为科学技术和管理人员数目为又设1外教员每年平均培养个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率于是有方程 (1) (2)方程(1)有通解 (3)若设则于是得特解 (4)将(4)代入(2)方
14、程变为 (5)求解方程(5)得通解 (6)若设则于是得特解 (7)(4)式和(7)式分别表示在初始人数分别为情况, 对应于的取值, 在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取即毕业生全部留在教育界, 则当时, 由于必有而说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将接近于零. 则同时也导致说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.3 差分和代数建模方法在一些问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量
