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1、复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi叫做代数形式。二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，0为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有 复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。复数z二a+bi用复平面上的点z(a, b)表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。 也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。三、三角形式表示形式复数z=a+bi化为三角形式,z = r(cos0+sin0 i) 0式中r=|z|二J(a八2+b八2)，是复数的 模(即绝对值)；6是以x轴为始边，射线0Z为终边的角，叫做复数
2、的辐角，记作argz，即 argz= 9二arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。四、指数形式表示形式将复数的三角形式z = r( cos0+isin9)中的cos0+isin9换为exp(i9)，复数就表为指数形式 z = rexp(i9)o向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量)，在数学中与之相对的是数 量，在物理中与之相对的是标量。向量的运算法则1、向量的加法30更4尚量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC 。a+b=(x+x， y+y)。a+O=O+a二a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a
3、+b)+c二a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a二-b, b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC二CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x,y)则 a-b=(x-x,y-y).如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作 入a,且I 入a| = | 入 | a |0当入0时，入a与a同方向当入=0时，入a=0,方向任意。当a=0时，对于任意实数 入，都有入a=0o注：按定义知，如果 入a=0,那么入=0或a=0o实数入叫做向量a的系数，乘数向量入a的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长
4、或压缩。当入1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入0） 上伸长为原来的I入丨倍当入1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或XX反方向（入0） 上缩短为原来的丨入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入a）b二入（ab） = （a 入b）。向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+ U） a二入a+ua.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b） =入a+入b.数乘向量的消去律：如果实数 入工0且入a b，那么a=b。如 果a工0且入a u a，那么入=口。4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,bo作OA=a,OB=b ,则角AOB称作向量a和 向量b的夹角，记
5、作a,b并规定0W a,bWn定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作abo若 a、b不共线，则ab = |a| b|cos a，b（依定义有：cosa，b 二ab / |a|-|b| ）；若 a、b 共线，则 ab=+-| a | b |。向量的数量积的坐标表示：a b二xx+yy。向量的数量积的运算律ab二ba （交换律）（入a）b二入（ab）（关于数乘法的结合律）（a+b） c=a c+b c （分配律）向量的数量积的性质aa=|a|的平方a丄b 二a b=0。|ab|W|a|b|。（该公式证明如下:|ab| = |a|b|cosa|因 为 0 W|cosa|W1，所以 |a
6、 b|W| a| b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：（a b）cfa（b c）；例如： （ab厂2工a八2b八2。2. 向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac （aO）,推不出b二c。3. |ab丨与|a|b|不等价4由 |a| = |b|，推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量A I同童的几低表示积（外积、叉积）是一个向量，记作aXb （这里并不是乘号，只是一种表 示方法，与“ ”不同，也可记做“人”）。若a、b不共线，则aXb的 模是：| aXb|=|a|b|si na，b； aXb的方向是：垂直于a和b, 且a、
7、b和aXb按这个次序构成右手系。若a、b共线，则aXb=O。向量的向量积性质：I aXb |是以a和b为边的平行四边形面积a X a=0。a 垂直 b二aXb=|a|b|。向量的向量积运算律aXb=-bXa(入 a)X b =入(aXb) =aX( Ab)aX (b+c) =aXb+aX c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积aXb，再和向量 c作数量积(aXb)c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a, b, c) 或(abc)，即(abc) = (a, b, c) = (aXb) c混合积具有下列性质：1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的 平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是 正数；当a、 b、c构成左手系时，混合积是 负数，即(abc)=sV (当a、b、c构成右手系 时e=1 ；当a、b、c构成左手系时e=-1 )2. 上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03. (abc ) = ( bca ) = (cab )=-( bac )=-( cba )=-( acb)4. (aXb) c=a (bXc)
